Quantum Field Theory
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A.1. Klein-Gordon
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A.2. Dirac
方程
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A.3.
利用
K-G
方程与
Dirac
方程计算氢原子能谱
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方程推导
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A.3.2.
从
Dirac
方程推导
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A.4.
用
Dirac
方程计算电子磁矩
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的诞生
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经典场论
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变换
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场的分类
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场的
Euler-Lagrange
方程
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对称性
Symmetry
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对称性
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量子化
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场论
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正则量子化
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单粒子态归一化
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绘景下的
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场论
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因果性
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两点关联函数
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.
1
A.
相对论性量子力学回顾
Schrödinger
方程的推导
参见这个
note (ruriko.moe/SchrodingerEquation)
.
A.1.
Klein-Gordon
方程
对动量
4
-
矢量有
:
𝑝
=
𝑝
𝜇
=
(
𝐸
𝑐
,
⃗
𝑝
)
,
𝑝
2
=
𝑚
2
𝑐
2
𝐸
=
√
⃗
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
⟹
𝐸
2
=
⃗
𝑝
2
𝑐
2
+
𝑚
2
𝑐
4
(1)
得到
Klein-Grdon
方程
:
[
[
[
1
𝑐
2
𝜕
2
𝜕
𝑡
2
𝛁
2
+
(
𝑚
𝑐
ℎ
)
2
]
]
]
𝜓
=
0
,
or
(
(
(
□
+
(
𝑚
𝑐
ℎ
)
2
)
)
)
𝜓
=
0
,
其中
□
=
𝑔
𝜇
𝜈
𝜕
𝜇
𝜕
𝜈
(
d'Alembert
算符
)
(2)
该方程存在下述两个问题
:
1.
负能解
:
导致真空不稳定
.
2.
负几率
:
波函数的概率诠释失效
.
下面我们来分析这两个问题
:
1.
负能解
:
K-G
方程的本征波函数
𝜓
KG
=
e
i
ℎ
(
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
−
𝐸
𝑡
)
(3)
显然
,
能量本征值
:
𝐸
=
±
√
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
(4)
我们发现
,
能量存在负解
−
√
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
.
我们认为量子系统存在能量最低的粒子数为
0
的真空态
.
在存在
负能解的情况下
,
真空态的能量趋于
−
∞
,
显然这会导致真空的不稳定
.
2.
负几率
:
K-G
方程可以写成连续性方程的形式
:
𝜕
𝜕
𝑡
𝜌
+
·
⃗
𝐽
=
0
(5)
其中
:
𝜌
KG
=
𝑁
Im
(
𝜓
∗
𝜕
𝜕
𝑡
𝜓
)
,
⃗
𝐽
KG
=
𝑁
𝑐
2
Im
(
𝜓
∗
𝜓
)
(6)
显然
,
𝜌
KG
不正定
,
概率密度可能出现
𝜌
KG
≤
0
的情况
.
A.2.
Dirac
方程
为了解决负几率问题
,
提出了
Dirac
方程
.
Dirac
方程通过
Schrödinger
方程
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
𝜓
=
𝐻
𝜓
(7)
得到
.
考虑波函数
𝜓
是一个
𝑛
维矢量
:
𝜓
(
𝑥
,
𝑡
)
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
𝜓
1
𝜓
2
⋮
𝜓
𝑛
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(8)
令所求方程形式为
:
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
𝜓
=
[
−
i
ℎ
𝑐
⃗
𝛼
·
+
𝛽
𝑚
𝑐
2
]
𝜓
(9)
其中
,
𝛼
是
𝑛
元矩阵矢量
:
𝛼
=
(
𝛼
1
,
𝛼
2
,
𝛼
2
)
,
𝛼
𝑖
(
𝑖
=
1
,
2
,
3
)
和
𝛽
为矩阵
.
狭义相对论要求对
公式
9
两边算符平方
(
作用两次
)
会回到
K-G
方程
:
(
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
)
2
𝜓
=
𝐻
2
𝜓
(10)
⟹
−
ℎ
2
𝜕
2
𝜕
𝑡
2
𝜓
=
−
ℎ
2
𝑐
2
∑
3
𝑖
𝑗
=
1
{
𝛼
𝑖
,
𝛼
𝑗
}
𝜕
𝑖
𝜕
𝑗
𝜓
−
i
ℎ
𝑚
𝑐
3
∑
3
𝑖
=
1
{
𝛼
𝑖
,
𝛽
}
𝜕
𝑖
𝜓
+
𝑚
2
𝑐
4
𝛽
2
𝜓
(11)
其中
{
𝐴
,
𝐵
}
=
𝐴
𝐵
+
𝐵
𝐴
为反对易算符
.
对比上式与
K-G
方程
,
可以得到以下条件
:
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
𝛼
𝑖
,
𝛽
}
=
0
{
𝛼
𝑖
,
𝛼
𝑗
}
=
2
𝛿
𝑖
𝑗
𝟙
⟹
(
𝛼
𝑖
)
2
=
𝟙
𝛽
2
=
𝟙
(12)
我们发现
,
当
𝑛
=
4
时
,
可以选取
4
×
4
矩阵使以上条件成立
.
于是
,
我们记
𝛾
=
𝛾
𝜇
=
(
𝛾
0
,
⃗
𝛾
)
=
(
𝛽
,
𝛽
⃗
𝛼
)
(13)
则所求方程可以写为
:
(
i
𝛾
𝜇
𝜕
𝜇
−
𝑚
𝑐
ℎ
)
𝜓
(
𝑡
,
⃗
𝑥
)
=
0
(14)
上式即
Dirac
方程
.
𝛾
𝜇
的选取可以有多种形式
,
两种常用的形式
:
𝛾
0
=
(
(
(
0
𝟙
2
×
2
𝟙
2
×
2
0
)
)
)
,
𝛾
𝑖
=
(
0
−
𝜎
𝑖
𝜎
𝑖
0
)
Chiral-Weyl basis
𝛾
0
=
(
(
(
𝟙
2
×
2
0
0
−
𝟙
2
×
2
)
)
)
,
𝛾
𝑖
=
(
0
−
𝜎
𝑖
𝜎
𝑖
0
)
Dirac-Pauli basis
(15)
本
note
中我们使用
Chiral-Weyl basis.
可以验证
,
将上式写成连续性方程的形式
:
𝜕
𝜕
𝑡
𝜌
+
𝛁
·
⃗
𝑗
=
0
(16)
其中
𝜌
=
𝜓
†
𝜓
=
|
𝜓
|
2
≥
0
,
⃗
𝑗
=
𝑐
𝜓
†
⃗
𝛼
𝜓
(17)
解决了负几率问题
.
Dirac
方程的能量本征值
𝐸
=
±
√
𝑝
2
𝑐
2
+
𝑚
2
𝑐
4
(18)
没有解决负能解问题
.
为了解决负能解问题
,
Dirac
提出了
Dirac sea
理论
,
并以此预言了正电子的存在
.
A.3.
利用
K-G
方程与
Dirac
方程计算氢原子能谱
A.3.1.
从
K-G
方程推导
我们对
K-G
方程中的能量与动量做
"
最小耦合
"
处理
:
𝐸
⟶
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
+
𝑒
𝜙
𝑝
⟶
−
i
ℎ
𝛁
+
𝑒
⃗
𝐴
𝑐
(19)
代入
K-G
方程
,
得
:
(
𝐸
−
𝑝
2
𝑐
2
−
𝑚
2
𝑐
4
)
𝜓
=
0
⇒
[
[
[
[
(
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
+
𝑒
𝜙
)
2
−
𝑐
2
(
(
(
(
−
i
ℎ
𝛁
+
𝑒
⃗
𝐴
𝑐
)
)
)
)
2
−
𝑚
2
𝑐
4
]
]
]
]
𝜓
=
0
(20)
氢原子满足库伦势和定态解
:
𝐴
𝜇
=
(
𝑒
4
𝜋
𝑟
,
0
)
,
𝜓
(
𝑡
,
⃗
𝑟
)
∝
e
−
i
𝐸
𝑡
/
ℎ
𝜓
(
⃗
𝑟
)
(21)
代入化简
,
得定态方程
:
[
[
[
(
(
(
𝐸
+
𝑒
2
4
𝜋
𝑟
)
)
)
2
−
ℎ
2
𝑐
2
𝛁
2
−
𝑚
2
𝑐
4
]
]
]
𝜓
(
⃗
𝑟
)
=
0
(22)
将波函数写成
𝜓
(
⃗
𝑟
)
=
𝑌
𝑚
(
𝜃
,
𝜙
)
𝑅
𝑛
(
𝑟
)
(23)
即可解出氢原子能谱方程
:
𝐸
𝑛
𝑙
=
𝑚
𝑐
2
√
√
√
√
1
+
𝛼
2
(
(
(
𝑛
−
𝑙
−
1
2
+
√
(
𝑙
+
1
2
)
2
−
𝛼
)
)
)
2
=
𝑚
𝑐
2
[
[
[
1
−
𝛼
2
2
𝑛
2
−
𝛼
4
2
𝑛
4
(
(
(
(
(
𝑛
𝑙
+
1
2
−
3
4
)
)
)
)
)
+
⋯
]
]
]
(24)
𝑙
为角量子数
.
其中第一项是静止质量
,
第二项是
Bohr
能级
,
第三项即为相对论带来的修正
.
第三项的相对论修正仍与实
验结果有一定误差
.
我们考虑
Dirac
方程
.
A.3.2.
从
Dirac
方程推导
同理
,
我们对
Dirac
作最小耦合处理
:
(
i
ℎ
𝜕
𝜕
𝑡
+
𝑒
𝜙
)
𝜓
=
(
−
i
ℎ
𝛁
+
𝑒
𝑐
⃗
𝐴
)
·
⃗
𝛼
𝜓
+
𝛽
𝑚
𝑐
2
𝜓
,
{
{
{
{
{
𝑒
𝜙
=
𝑒
2
4
𝜋
𝑟
⃗
𝐴
=
0
⟹
[
𝐻
,
−
i
ℎ
⃗
𝑟
×
𝛁
+
ℎ
⃗
𝜎
2
]
=
0
(25)
解得能级为
:
𝐸
𝑛
𝑗
=
𝑚
𝑐
2
√
√
√
√
1
+
𝛼
2
(
(
(
𝑛
−
𝑗
−
1
2
+
√
(
𝑗
+
1
2
)
2
−
𝛼
2
)
)
)
2
=
𝑚
𝑐
2
[
[
[
1
−
𝛼
2
2
𝑛
2
−
𝛼
4
2
𝑛
4
(
(
(
(
(
𝑛
𝑗
+
1
2
−
3
4
)
)
)
)
)
+
⋯
]
]
]
(26)
𝑗
为总量子数
.
此项结果与实验吻合较好
.
A.4.
用
Dirac
方程计算电子磁矩
见
J. J. Sakurai
Modern Quantum Mechanics
8.2.4
B.
QFT
的诞生
B.1.
一维经典弦的量子化
考虑
𝑁
个质量
𝑚
的简谐振子组成的一维链
,
总长
𝐿
0
=
𝑁
𝑙
,
平衡状态下每个振子相距为
𝑙
,
记
𝑛
𝑖
为第
𝑖
个振
子
,
其位置为
𝜂
𝑖
.
若振子
𝑛
𝑖
产生了一个小偏移
,
则其动能
𝑇
=
∑
𝑁
𝑖
=
1
1
2
𝑚
𝑣
2
𝑖
=
∑
𝑁
𝑖
=
1
1
2
𝑚
̇
𝜂
2
𝑖
=
1
2
𝑚
∑
𝑁
𝑖
=
1
(
d
𝜂
d
𝑡
)
2
(27)
势能
:
𝑉
=
∑
𝑁
𝑖
=
1
1
2
𝑘
(
𝜂
𝑖
+
1
−
𝜂
𝑖
)
2
(28)
取连续极限
:
𝑁
→
∞
,
𝑙
→
0
(29)
得到
:
𝑇
=
1
2
𝑚
∑
𝑁
𝑖
=
1
(
d
𝜂
d
𝑡
)
2
=
1
2
𝑚
𝑙
∑
𝑁
𝑖
=
1
𝑙
(
d
𝜂
d
𝑡
)
2
=
1
2
𝜇
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
(
𝜕
𝜂
(
𝑥
,
𝑡
)
𝜕
𝑡
)
2
𝑉
=
1
2
𝑘
𝑙
∑
𝑁
𝑖
=
1
𝑙
(
𝑛
𝑖
+
1
−
𝑛
𝑖
𝑙
)
2
=
1
2
𝒯
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
(
𝜕
𝜂
(
𝑥
,
𝑡
)
𝜕
𝑥
)
2
(30)
其中
𝜇
=
𝑚
/
𝑙
为弦的线密度
[
𝑀
/
𝐿
]
,
𝒯
=
𝑘
𝑙
为弦的杨氏模量
(
张力
)
[
𝐸
/
𝐿
]
.
于是我们得到
Lagrangian:
𝐿
=
𝑇
−
𝑉
=
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
[
[
[
1
2
𝜇
(
𝜕
𝜂
𝜕
𝑡
)
2
−
1
2
𝒯
(
𝜕
𝜂
𝜕
𝑥
)
2
]
]
]
(31)
记
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
)
=
√
𝜇
𝜂
(
𝑡
,
𝑥
)
,
𝑐
=
√
𝒯
𝜇
(32)
有
:
𝐿
=
1
2
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
[
[
[
[
(
(
(
(
𝜕
(
√
𝜇
𝜂
)
𝜕
𝑡
)
)
)
)
2
−
(
𝒯
𝜇
)
(
(
(
(
𝜕
(
√
𝜇
𝜂
)
𝜕
𝑥
)
)
)
)
2
]
]
]
]
=
1
2
∫
𝐿
0
0
d
𝑥
[
[
[
(
𝜕
𝑢
𝜕
𝑡
)
2
−
𝑐
2
(
𝜕
𝑢
𝜕
𝑥
)
2
]
]
]
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
Lagrangian density
ℒ
(33)
𝑐
即波速
.
故我们有
Euler-Lagrange
方程
:
𝜕
2
𝑢
𝜕
𝑡
2
−
𝑐
2
𝜕
2
𝑢
𝜕
𝑥
2
=
0
(34)
令弦两端固定
,
有边界条件
:
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
=
0
)
=
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
=
𝐿
0
)
=
0
(35)
我们将
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
)
在位形空间
Fourier
展开
:
𝑢
(
𝑡
,
𝑥
)
=
∑
∞
𝑘
=
1
𝑞
𝑘
(
𝑡
)
sin
(
𝜔
𝑘
𝑥
𝑐
)
,
𝜔
𝑘
=
𝑘
𝜋
𝑐
𝐿
0
(36)
𝜔
𝑘
即正则角频率
.
代入
Lagrangian
表达式
:
𝐿
=
𝐿
0
4
∑
∞
𝑘
=
1
[
̇
𝑞
2
𝑘
(
𝑡
)
−
𝜔
2
𝑘
𝑞
2
𝑘
(
𝑡
)
]
(37)
我们也可以得到相应的
Euler-Language
方程
:
̈
𝑞
𝑘
(
𝑡
)
+
𝜔
2
𝑘
𝑞
2
𝑘
(
𝑡
)
=
0
(38)
我们定义正则动量
𝑝
𝑘
=
𝜕
𝐿
𝜕
̇
𝑞
𝑘
=
𝐿
0
2
̇
𝑞
𝑘
(
𝑡
)
(39)
做
Legendre
变换
:
𝐻
=
∑
∞
𝑘
=
1
𝑝
𝑘
̇
𝑞
𝑘
−
𝐿
=
∑
∞
𝑘
=
1
(
(
(
(
𝑝
2
𝑘
𝐿
0
+
𝐿
0
4
𝜔
2
𝑘
𝑞
2
𝑘
)
)
)
)
(40)
量子力学中
,
动量与位置算符满足
[
̂
𝑝
,
̂
𝑥
]
=
−
i
ℎ
.
在这里
,
我们将位置
𝑞
𝑘
和正则动量
𝑝
𝑘
看作
量子
算符
,
并满足
对易关系
(
等时
量子化条件
):
[
̂
𝑝
𝑘
(
𝑡
)
,
̂
𝑞
𝑗
(
𝑡
)
]
=
−
i
ℎ
𝛿
𝑘
𝑗
,
[
̂
𝑝
𝑘
(
𝑡
)
,
̂
𝑝
𝑗
(
𝑡
)
]
=
[
̂
𝑞
𝑘
(
𝑡
)
,
̂
𝑞
𝑗
(
𝑡
)
]
=
0
(41)
我们回忆量子力学里的简谐振子模型
,
可以用粒子数算符表示为
̂
𝑥
=
√
ℎ
2
𝑚
𝜔
(
𝑎
+
𝑎
†
)
,
̂
𝑝
=
−
i
√
𝑚
ℎ
𝜔
2
(
𝑎
−
𝑎
†
)
̂
𝐻
=
ℎ
𝜔
(
𝑎
†
𝑎
+
1
2
)
,
𝑎
|
𝑛
⟩
=
√
𝑛
|
𝑛
−
1
⟩
,
𝑎
†
=
√
𝑛
+
1
|
𝑛
+
1
⟩
[
𝑎
,
𝑎
†
]
=
1
(42)
其中
𝑎
为下降算符
(
lowering operator),
𝑎
†
为上升算符
(
raising operator).
同样的
,
我们可以将上文给出的
𝑞
𝑘
表示为
:
̂
𝑞
𝑘
=
√
ℎ
𝐿
0
𝜔
𝑘
(
𝑎
𝑘
e
−
i
𝜔
𝑘
𝑡
+
𝑎
†
𝑘
e
i
𝜔
𝑘
𝑡
)
(
(
(
(
⇔
̂
𝑥
=
√
ℎ
2
𝑚
𝜔
(
𝑎
+
𝑎
†
)
)
)
)
)
(43)
其中
,
𝑎
𝑘
为湮灭算符
(
annihilation operator),
𝑎
†
𝑘
为产生算符
(
creation operator).
若要满足
公式
41
的量子化
条件
,
应有
:
[
𝑎
𝑘
,
𝑎
†
𝑗
]
=
𝛿
𝑘
𝑗
(
⇔
[
𝑎
,
𝑎
†
]
=
1
)
[
𝑎
𝑘
,
𝑎
𝑗
]
=
[
𝑎
†
𝑘
,
𝑎
†
𝑗
]
=
0
(44)
按
公式
41
也可以给出
̂
𝑝
𝑘
=
−
i
√
𝐿
0
𝜔
𝑘
ℎ
4
(
𝑎
𝑘
e
−
i
𝜔
𝑘
𝑡
−
e
i
𝜔
𝑘
𝑡
)
(45)
将产生湮灭算符给出的
̂
𝑞
𝑘
与
̂
𝑝
𝑘
代入
Hamiltonian
的表达式
,
可以得到
:
𝐻
=
∑
∞
𝑘
=
1
ℎ
𝜔
𝑘
(
𝑎
†
𝑘
𝑎
𝑘
+
1
2
)
(46)
因此
,
我们可以把量子场理解为无穷多个谐振子的联合
.
对于基态
|
0
⟩
,
有
𝑎
𝑘
|
0
⟩
=
0
,
∀
𝑘
=
1
,
…
,
∞
(47)
𝐻
𝑎
†
𝑘
|
0
⟩
=
[
𝐻
,
𝑎
†
𝑘
]
|
0
⟩
+
𝑎
†
𝑘
𝐻
|
0
⟩
=
ℎ
𝜔
𝑘
𝑎
†
𝑘
|
0
⟩
+
𝐸
0
𝑎
†
𝑘
|
0
⟩
=
(
𝐸
0
+
ℎ
𝜔
𝑘
)
𝑎
†
𝑘
|
0
⟩
(48)
因此我们称
𝑎
𝑘
为湮灭算符
,
𝑎
†
𝑘
为产生算符
.
量子弦的能量本征态为
|
𝑛
1
,
…
,
𝑛
𝑖
,
…
,
𝑛
𝑘
⟩
(49)
其中
𝑛
𝑖
为
𝜔
𝑖
模式的粒子
(
光子
)
数
.
描述这个本征态的空间称为
Fork space:
ℱ
=
⨁
𝑛
𝐻
𝑛
(50)
其中
𝐻
𝑛
为固定了
𝑛
个粒子
(
光子
)
的
Hilbert
空间
.
由此我们可以把
(
𝑎
†
)
𝑛
诠释为产生
𝑛
个粒子
———
粒子是场激发对应的量子
.
零点能
𝐻
|
0
⟩
=
𝐸
0
|
0
⟩
=
∑
∞
𝑘
=
1
1
2
ℎ
𝜔
𝑘
∝
∑
∞
1
𝑘
(51)
我们发现这个级数是发散的
.
为了解决这个问题
,
我们未来会引入
"
重整化
".
C.
经典场论
在场论中
,
我们采用自然单位制
(
God given unit/natural unit):
ℎ
=
𝑐
=
1
(52)
在此单位制下
,
我们有
:
[
𝐸
]
=
1
=
[
𝑝
]
=
[
𝑚
]
[
𝐿
]
=
[
𝑡
]
=
−
1
(53)
经典场的
Lagrangian
可以写成如下形式
:
𝐿
=
∫
d
3
𝑥
ℒ
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
,
𝑆
=
∫
𝐿
d
𝑡
(54)
其中作用量
𝑆
是一个
Lorentz
标量
(
Lorentz Scalar).
因此有
:
𝑆
=
∫
d
𝑡
d
𝑥
3
ℒ
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
∫
d
4
𝑥
ℒ
(
𝑥
)
(55)
在上式中
,
作用量
𝑆
是一个实标量
,
d
4
𝑥
是
Lorentz
不变量
(
Lorentz invariance),
因此我们要求拉格朗日密度
(
Larangian density)
ℒ
(
𝑥
)
是一个
Lorentz
不变量
.
C.1.
Lorentz
变换
对于
4-
矢量
𝑥
𝜇
=
(
𝑡
,
𝑥
1
,
𝑥
2
,
𝑥
3
)
,
其
Lorentz
变换
𝑥
𝜇
⟶
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
=
𝑥
′
𝜇
(56)
变换
Λ
包含了空间上的转动变换和时空上的
boost
变换
,
比如绕
𝑥
轴的转动变换
:
Λ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
1
1
cos
𝜃
𝑥
−
sin
𝜃
𝑥
sin
𝜃
𝑥
cos
𝜃
𝑥
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(57)
𝑥
和
𝑡
上的
boost
变换
Λ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
𝛾
𝛾
𝑣
𝛾
𝑣
𝛾
1
1
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(58)
这里我们定义快度
𝛽
𝛽
=
1
2
ln
1
+
𝑣
1
−
𝑣
(59)
有
:
cosh
𝛽
=
𝛾
=
1
√
1
−
𝑣
2
sinh
𝛽
=
𝛾
𝑣
(60)
于是
,
变换矩阵为
:
Λ
=
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
(
cosh
𝛽
sinh
𝛽
sinh
𝛽
cosh
𝛽
1
1
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
(61)
Lorentz
变换
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
(62)
不改变时空间隔的长度
:
d
𝑠
2
=
𝑔
𝜇
𝜈
d
𝑥
′
𝜇
d
𝑥
′
𝜈
=
𝑔
𝜌
𝜎
d
𝑥
𝜌
d
𝑥
𝜎
(63)
将
公式
63
右侧的微分除到左侧
,
得到
:
⟹
𝑔
𝜇
𝜈
𝜕
𝑥
′
𝜇
𝜕
𝑥
𝜌
𝜕
𝑥
′
𝜈
𝜕
𝑥
𝜎
=
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
=
𝑔
𝜌
𝜎
⟹
(
Λ
𝜌
𝜈
)
𝖳
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜈
𝜎
=
𝑔
𝜌
𝜎
(64)
写成矩阵形式
Λ
𝖳
𝑔
Λ
=
𝑔
(65)
两边取
determinant
det
(
Λ
𝖳
𝑔
Λ
)
=
det
(
𝑔
)
⟹
det
(
Λ
𝖳
)
det
(
𝑔
)
det
(
Λ
)
=
det
(
𝑔
)
⟹
det
(
Λ
)
2
=
1
(66)
我们得到
det
(
Λ
)
=
±
1
(67)
即
Lorentz
矩阵的特征值为
±
1
.
我们回到
Lorentz
变换
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
=
𝑔
𝜌
𝜎
(68)
取
𝜌
=
𝜎
=
0
,
有
:
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜇
0
Λ
𝜈
0
=
𝑔
0
0
=
1
⟹
(
Λ
0
0
)
2
−
∑
3
𝑖
=
1
(
Λ
𝑖
𝑜
)
2
=
1
⟹
(
Λ
0
0
)
2
=
1
+
∑
3
𝑖
=
1
(
Λ
𝑖
𝑜
)
2
≥
1
(69)
因此
,
我们发现
Λ
0
0
≥
+
1
or
Λ
0
0
≤
−
1
(70)
四维时空中的矢量和张量可以是协变
,
逆变或者协变逆变混合的
:
1.
逆变量的
Lorentz
变换形如
:
𝑥
𝜇
→
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
𝑇
𝜇
𝜈
→
𝑇
′
𝜇
𝜈
=
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
𝑇
𝜌
𝜎
(71)
2.
协变量的
Lorentz
变换形如
:
𝑥
𝜇
→
𝑥
′
𝜇
=
(
Λ
−
1
)
𝜈
𝜇
𝑥
𝜈
𝑇
𝜇
𝜈
→
𝑇
′
𝜇
𝜈
=
(
Λ
−
1
)
𝜌
𝜇
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜈
𝑇
𝜌
𝜎
(72)
3.
协变逆变混合量的
Lorentz
变换形如
:
𝑇
𝜇
𝜈
→
𝑇
′
𝜇
𝜈
=
Λ
𝜇
𝜌
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜈
𝑇
𝜌
𝜎
(73)
考虑矢量平方的
Lorentz
变换
:
𝑥
2
=
𝑥
𝜇
𝑥
𝜇
⟶
𝑥
′
2
=
𝑥
′
𝜇
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜌
𝑥
𝜌
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜇
𝑥
𝜎
=
(
Λ
𝜇
𝜌
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜇
)
𝑥
𝜌
𝑥
𝜎
=
𝛿
𝜎
𝜌
𝑥
𝜌
𝑥
𝜎
=
𝑥
2
(74)
C.2.
场的分类
我们可以按
Lorentz
变换下的行为对场进行分类为标量场
,
矢量场
,
张量场和旋量场
.
1.
标量场
𝜙
(
𝑥
)
→
𝜙
′
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
𝜙
(
𝑥
)
(75)
2.
矢量场
,
如电磁场
𝐴
𝜇
(
𝑥
)
→
𝐴
′
𝜇
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
Λ
𝜇
𝜈
𝐴
𝜈
(
Λ
−
1
𝑥
)
(76)
3.
张量场
ℎ
𝜇
𝜈
(
𝑥
)
→
ℎ
′
𝜇
𝜈
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
Λ
𝜇
𝜌
Λ
𝜈
𝜎
ℎ
𝜌
𝜎
(
𝑥
)
(77)
4.
旋量场
(
Dirac
场
)
𝜓
(
𝑥
)
→
𝜓
′
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
Λ
1
2
𝜓
(
𝑥
)
"spiner-field"
(78)
场论中的
Lagrangian density
可以包含形如以下这些的项
:
ℒ
(
𝑥
)
⊂
𝜙
(
𝑥
)
,
𝜕
𝜇
𝜙
(
𝑥
)
𝜕
𝜈
𝜙
(
𝑥
)
,
𝜙
3
(
𝑥
)
,
𝜙
1
0
0
0
0
0
9
(
𝑥
)
,
sin
𝜙
(
𝑥
)
,
…
(79)
而不可以包含像这样的项
:
ℒ
(
𝑥
)
⊄
𝜕
𝜇
𝜙
(
𝑥
)
:
矢量
,
不满足
Lorentz invariance
,
𝜙
1
□
𝜙
,
∫
d
3
𝑦
𝜙
(
𝑥
)
𝜙
(
𝑦
)
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
Nonlocal field
(80)
这里我们出于简单考虑
,
要求我们的场论是定域
(
局域
)
的
,
而不能是非定域
(
全局
)
的
.
由于
[
d
4
𝑥
]
=
4
,
我们发现
Lagrangian density
的量纲是
[
ℒ
]
=
+
4
. Lagrangian density
可以写成以下
形式
:
ℒ
=
𝒦
−
𝒱
(81)
其中
𝒦
项可以形如
𝒦
⊂
𝜙
2
(
自由场
)
,
𝜕
𝜇
𝜙
𝜕
𝜇
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝜙
1
𝜕
𝜇
𝜙
2
,
𝜕
𝜇
𝜙
𝜕
𝜇
𝜙
∗
,
𝜕
𝜇
𝜙
𝐴
𝜇
,
−
1
4
𝐹
𝜇
𝜈
𝐹
𝜇
𝜈
,
…
(82)
𝒱
项是相互作用项
,
至少包含三线型
𝒱
⊂
𝜙
3
,
𝜙
4
,
𝑛
4
𝛾
𝜇
𝜓
𝐴
𝜇
,
𝜕
𝛾
𝜙
𝐴
𝛾
𝜙
∗
,
(
𝐴
𝛾
𝐴
𝛾
)
2
,
𝜕
𝜇
ℎ
𝜇
𝜈
𝜕
𝜈
ℎ
𝛼
𝛽
ℎ
𝛼
𝛽
,
…
(83)
𝜙
的量纲
[
𝜙
]
=
+
1
.
我们研究形如下式的
K-G
场的
Largrangian density:
ℒ
KG
=
1
2
𝜕
𝜇
𝜕
𝜇
𝜙
−
1
2
𝑚
2
𝜙
2
=
1
2
̇
𝜙
2
−
1
2
𝛁
𝜙
·
𝛁
𝜙
−
1
2
𝑚
2
𝜙
2
(84)
在经典力学中我们定义动量
:
𝑝
=
𝜕
𝐿
𝜕
̇
𝑞
,
同样的
,
我们定义共轭动量密度
𝜋
(
𝑥
)
=
𝜕
ℒ
𝜕
̇
𝜙
=
̇
𝜙
(85)
经典力学中通过
Legendre
变换将
Hamiltonian
定义为
𝐻
(
𝑝
,
𝑞
)
=
𝑝
̇
𝑞
−
𝐿
,
同样的
,
我们定义场的
Hamiltonian density:
ℋ
(
𝑥
)
=
𝜋
̇
𝜙
−
ℒ
(86)
代入
Lagrangian density,
我们得到
:
ℋ
(
𝜋
,
𝜙
)
=
𝜋
̇
𝜙
−
ℒ
=
1
2
𝜋
2
+
1
2
(
𝛁
𝜙
)
2
+
1
2
𝑚
2
𝜙
2
≥
0
(87)
我们发现这个场具有稳定的基态
.
C.3.
场的
Euler-Lagrange
方程
考虑场的作用量
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
ℒ
(
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝜙
)
(88)
我们对其取变分等于
0
:
0
=
𝛿
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
𝛿
ℒ
(
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝜙
)
=
∫
d
4
𝑥
[
[
[
[
[
[
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
𝛿
𝜙
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
𝜕
𝜇
𝛿
𝜙
]
]
]
]
]
]
=
∫
d
4
𝑥
[
[
[
[
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
𝛿
𝜙
+
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
)
)
)
)
)
−
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝜙
]
]
]
]
=
∫
d
4
𝑥
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
−
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝜙
+
∫
d
4
𝑥
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
)
)
)
)
)
(89)
第二项利用
Gauss
公式
:
∫
d
4
𝑥
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
)
)
)
)
)
=
∯
⃗
𝑗
·
d
⃗
Σ
=
0
(
(
(
(
(
记
𝑗
𝜇
=
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
)
)
)
)
)
(90)
那么第二项积分应为
0
,
于是有
:
𝛿
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
−
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝜙
=
0
(91)
由于
𝛿
𝜙
的取值任意
,
那么我们得到场的
Euler-Lagrange
方程
(
equation of motion,
运动方程
):
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
−
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
=
0
(92)
我们将上文中的
ℒ
代入
公式
92
,
有
:
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
=
𝑚
2
𝜙
,
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
=
□
𝜙
⟹
(
□
+
𝑚
2
)
𝜙
=
0
(
K-G
方程
)
(93)
习题
:
1.
ℒ
=
1
2
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
2
−
1
2
𝑚
2
𝜙
2
−
𝜆
4
!
𝜙
4
2.
ℒ
CKG
=
𝜕
𝜇
𝜙
𝜕
𝜇
𝜙
∗
−
𝑚
2
|
𝜙
|
2
3.
ℒ
Max
=
−
1
4
𝐹
𝜇
𝜈
𝐹
𝜇
𝜈
−
𝐴
𝜇
𝑗
𝜈
C.4.
对称性
Symmetry
对称性是指
,
在系统的动力学不变
.
系统的对称性的判据可以是
,
在对称操作下
:
1.
系统的运动方程保持不变
;
2.
系统的作业量
(
action)
保持不变
.
K-G
场的
Larangian:
ℒ
KG
=
1
2
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
2
−
1
2
𝑚
2
𝜙
2
(94)
考虑
K-G
场的
Lorentz
对称性
:
𝑥
⟶
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
𝜙
(
𝑥
)
⟶
𝜙
′
(
𝑥
)
=
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
𝜕
𝜇
𝜙
(
𝑥
)
⟶
𝜕
𝜇
𝜙
′
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
𝜕
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
𝜕
𝑥
𝜇
=
(
Λ
−
1
)
𝜈
𝜇
𝜕
𝜈
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
2
⟶
𝑔
𝜇
𝜈
𝜕
𝜇
𝜙
′
(
𝑥
)
𝜕
𝜈
𝜙
′
(
𝑥
)
=
𝑔
𝜇
𝜈
(
Λ
−
1
)
𝜌
𝜇
𝜕
𝜌
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜈
𝜕
𝜎
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
𝑔
𝜌
𝜎
𝜕
𝜌
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
𝜕
𝜎
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
(
𝜕
𝜇
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
)
2
(95)
因此系统的作用量不变
,
满足判据
2.
另外我们考虑运动方程
(
□
+
𝑚
2
)
𝜙
′
(
𝑥
)
=
(
𝑔
𝜇
𝜈
𝜕
𝜇
𝜕
𝜈
+
𝑚
2
)
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
𝑔
𝜇
𝜈
(
Λ
−
1
)
𝜎
𝜇
𝜕
𝜎
(
Λ
−
1
)
𝜌
𝜈
𝜕
𝜌
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
+
𝑚
2
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
𝑔
𝜎
𝜌
𝜕
𝜎
𝜕
𝜌
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
+
𝑚
2
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
=
(
□
+
𝑚
2
)
𝜙
(
Λ
−
1
𝑥
)
(96)
即系统的运动方程不变
,
满足判据
1.
对称性可以分为
时空对称性
和
内禀对称性
:
1.
时空对称性即
Lorentz
+
space-time translation,
如平移对称性
,
伸缩对称性
.
2.
内禀对称性即内部对称性
,
如
𝑈
(
1
)
对称性
,
𝑍
2
对称性等
.
群
𝐺
即满足下述条件的集合
:
1.
封闭性
:
∀
𝑎
,
𝑏
∈
𝐺
,
𝑎
𝑏
∈
𝐺
(97)
2.
恒元
𝟙
3.
逆元
∀
𝑔
∈
𝐺
,
∃
𝑔
−
1
∈
𝐺
(98)
4.
结合律
∀
𝑎
,
𝑏
,
𝑐
∈
𝐺
,
(
𝑎
𝑏
)
𝑐
=
𝑎
(
𝑏
𝑐
)
(99)
对称性可以分为连续
(
continuous)
对称性和分立
(
discrete)
对称性
.
连续对称性如
𝑈
(
1
)
对称性
.
连续对称性
可以通过
Lie
群
来描述
.
分立对称性有
𝑍
2
对称性和
𝑃
𝑇
对称性
.
D.
Noether
定理
(
对称性
⟶
守恒量
)
Noether theorem
:
一个系统具有某种连续对称性
,
且当运动方程不显含时间时
,
则系统存在一个守恒流
:
𝜕
𝜇
𝑗
𝜇
=
0
(100)
PROOF :
作用量
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
ℒ
(
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝜙
)
(101)
取变分
:
𝛿
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
[
𝛿
(
d
4
𝑥
)
ℒ
+
d
4
𝑥
𝛿
ℒ
(
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝜙
)
]
(102)
考虑无穷小变换
:
𝑥
⟶
𝑥
′
=
𝑥
+
𝛿
𝑥
,
𝜙
′
(
𝑥
′
)
=
𝜙
(
𝑥
)
+
𝛿
𝜙
(103)
其中
,
对函数
𝑓
,
有
:
𝛿
𝑓
=
𝑓
′
(
𝑥
′
)
−
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑓
′
(
𝑥
+
𝛿
𝑥
)
−
𝑓
(
𝑥
)
=
𝑓
′
(
𝑥
)
−
𝑓
(
𝑥
)
+
𝛿
𝑥
𝜇
𝜕
𝜇
𝑓
(
𝑥
)
+
𝒪
(
𝛿
𝑥
2
)
(104)
记
𝑓
′
(
𝑥
)
−
𝑓
(
𝑥
)
=
𝛿
0
𝑓
,
于是
𝛿
可以写成
:
𝛿
=
𝛿
0
+
𝛿
𝑥
𝜇
𝜕
𝜇
(105)
我们研究第一项
𝛿
(
d
4
𝑥
)
是什么
:
由于
∫
d
4
𝑥
′
=
∫
d
4
𝑥
|
|
|
|
𝜕
𝑥
′
𝜇
𝜕
𝑥
𝜈
|
|
|
|
=
∫
d
4
𝑥
|
𝛿
𝜇
𝜈
+
𝜕
𝜈
𝛿
𝑥
𝜇
|
(106)
根据
det
𝑀
=
e
tr
ln
𝑀
=
1
+
tr
ln
𝑀
(107)
PROOF :
记
𝐴
=
ln
𝑀
,
即
𝑀
=
e
𝐴
≔
∑
∞
𝑛
=
0
𝐴
𝑛
𝑛
!
,
𝐶
为
𝐴
对角化矩阵
:
𝐴
=
𝑆
−
1
𝐶
𝑆
.
于是
:
det
𝑀
=
det
∑
∞
𝑛
=
0
(
𝐴
)
𝑛
𝑛
!
=
det
∑
𝑛
(
𝑆
−
1
𝐶
𝑆
)
𝑛
𝑛
!
=
det
∑
𝑛
𝑆
−
1
𝐶
𝑛
𝑆
𝑛
=
∑
𝑛
det
𝑆
−
1
det
𝐶
𝑛
det
𝑆
𝑛
!
=
∑
𝑛
det
𝐶
𝑛
𝑛
!
(108)
由于
𝐶
𝑛
为对角阵
,
有
:
det
𝐶
𝑛
=
tr
𝐶
𝑛
=
(
tr
𝐶
)
𝑛
=
(
tr
𝐴
)
𝑛
(109)
⟹
det
𝑀
=
∑
𝑛
(
tr
𝐴
)
𝑛
𝑛
!
=
e
tr
𝐴
=
e
tr
ln
𝑀
=
1
+
tr
ln
𝑀
(110)
于是
|
𝛿
𝜇
𝜇
+
𝜕
𝜈
𝛿
𝑥
𝜇
|
可以写成
:
|
𝛿
𝜇
𝜇
+
𝜕
𝜈
𝛿
𝑥
𝜇
|
=
1
+
tr
[
𝜕
𝜈
𝛿
𝑥
𝜇
]
=
1
+
𝜕
𝜇
𝛿
𝑥
𝜇
(111)
因此
,
我们得到
:
⟹
𝛿
(
d
4
𝑥
)
=
(
𝜕
𝜇
𝑥
𝜇
)
d
4
𝑥
(112)
在这里我们考查无穷小
Lorentz
变换
:
𝑥
′
𝜇
=
Λ
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
=
𝑥
𝜇
+
𝜔
𝜇
𝜈
𝑥
𝜈
(113)
这里无穷小
Lorentz
变换矩阵
Λ
被一阶展开
:
Λ
𝜇
𝜈
=
𝛿
𝜇
𝜈
+
𝜔
𝜇
𝜈
(114)
这里
𝛿
𝜇
𝜈
为单位矩阵
,
我们想知道
𝜔
𝜇
𝜈
是什么
.
由于
:
Λ
−
1
𝑔
Λ
=
𝑔
𝜇
𝜈
Λ
𝜇
𝛼
Λ
𝜇
𝛽
=
𝑔
𝜇
𝜈
(
𝛿
𝜇
𝛼
+
𝜔
𝜇
𝛼
)
(
𝛿
𝜈
𝛽
+
𝜔
𝜈
𝛽
)
≃
𝑔
𝛼
𝛽
+
𝜔
𝛼
𝛽
+
𝜔
𝛽
𝛼
=
𝑔
⟹
𝜔
𝑎
𝑏
=
−
𝜔
𝑏
𝑎
(115)
此时
𝜕
𝜇
𝛿
𝑥
𝜇
=
𝜔
𝜇
𝜈
𝜕
𝜇
𝑥
𝜈
=
𝜔
𝜇
𝜈
𝑔
𝜇
𝜈
=
0
(116)
也就是说
,
对于
Lorentz
变换
,
第一项可以忽略
.
回到作用量变分
:
𝛿
𝑆
=
∫
[
(
𝜕
𝜇
𝛿
𝑥
𝜇
)
ℒ
+
𝛿
ℒ
]
d
4
𝑥
=
0
(117)
我们利用
𝛿
=
𝛿
0
+
𝛿
𝑥
𝜇
𝜕
𝜇
展开第二项
:
𝛿
ℒ
=
𝛿
0
ℒ
+
𝛿
𝑥
𝜇
𝜕
𝜇
ℒ
(118)
其中
𝛿
0
ℒ
=
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
𝛿
0
𝜙
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
0
𝜕
𝜇
𝜙
=
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
𝛿
0
𝜙
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝜕
𝜇
𝛿
0
𝜙
=
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
𝜙
−
𝜕
𝜇
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
0
𝛿
0
𝜙
+
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
0
𝜙
)
)
)
)
)
=
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
0
𝜙
)
)
)
)
)
(119)
第三个等号用到了分部积分
.
代回
:
𝛿
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
[
[
[
[
[
[
(
𝜕
𝜇
𝛿
𝑥
𝜇
)
ℒ
+
𝛿
𝑥
𝜇
𝜕
𝜇
ℒ
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
𝜕
𝜇
(
𝛿
𝑥
𝜇
ℒ
)
+
𝜕
𝜇
(
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
0
𝜙
)
)
)
)
)
]
]
]
]
]
]
=
∫
d
4
𝑥
𝜕
𝜇
[
[
[
[
𝛿
𝑥
𝜇
ℒ
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
0
𝜙
]
]
]
]
=
0
(120)
我们定义
Noether
流
:
𝑗
𝜇
=
𝛿
𝑥
𝜇
ℒ
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
0
𝜙
(121)
又由于
𝛿
0
𝜙
=
𝛿
𝜙
−
𝛿
𝑥
𝜇
𝜕
𝜇
𝜙
因此
:
𝛿
𝑆
=
∫
d
4
𝑥
𝜕
𝜇
[
[
[
[
𝛿
𝑥
𝜇
ℒ
−
𝛿
𝑥
𝜈
𝜕
𝜈
𝜙
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
]
]
]
]
=
∫
d
4
𝑥
𝜕
𝜇
[
[
[
[
(
(
(
(
(
ℒ
𝛿
𝜇
𝜈
−
𝜕
𝜈
𝜙
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝑥
𝜈
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
]
]
]
]
=
0
(122)
得到
:
𝜕
𝜇
[
[
[
[
(
(
(
(
(
ℒ
𝛿
𝜇
𝜈
−
𝜕
𝜈
𝜙
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝑥
𝜈
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
]
]
]
]
=
0
(123)
可以记
𝑗
𝜇
=
(
(
(
(
(
ℒ
𝛿
𝜇
𝜈
−
𝜕
𝜈
𝜙
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
)
)
)
)
)
𝛿
𝑥
𝜈
+
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝛿
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝑗
𝜇
=
0
(124)
有时我们也会记
𝑎
𝜈
=
𝛿
𝑥
𝜈
.
定义
Noether
荷
:
0
=
∫
d
4
𝑥
𝜕
𝜇
𝑗
𝜇
=
∫
𝑇
2
𝑇
1
d
𝑡
∫
d
3
𝑥
(
𝜕
0
𝑗
0
+
𝛁
·
⃗
𝑗
)
=
∫
𝑇
2
𝑇
1
d
𝑡
(
𝜕
𝜕
𝑡
∫
d
3
𝑥
𝑗
0
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
)
+
∫
d
𝑡
∫
𝑆
⃗
𝑗
·
d
⃗
𝜎
(125)
这里对空间积分应用了
Stokes
定理
.
我们记
𝑄
(
𝑡
)
=
∫
d
3
𝑥
𝑗
0
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
)
(126)
有
:
∫
𝑇
2
𝑇
1
d
𝑡
d
d
𝑡
𝑄
+
∫
d
𝑡
∫
𝑆
⃗
𝑗
·
d
⃗
𝜎
=
0
(127)
对于封闭曲面第二项为
0
,
故有
:
d
𝑄
d
𝑡
=
0
(128)
即
Noether
荷是守恒荷
,
不依赖时间
.
考虑时空平移变换
:
𝑥
𝜇
⟶
𝑥
′
𝜇
=
𝑥
𝜇
+
𝑎
𝜇
,
(129)
在变换下
𝛿
𝜙
=
0
,
因此
:
𝛿
0
𝜙
=
𝛿
𝜙
−
𝛿
𝑥
𝜇
𝜕
𝜇
𝜙
=
−
𝑎
𝜇
𝜕
𝜇
𝜙
(130)
我们也可以这样理解
:
𝜙
′
(
𝑥
)
=
𝜙
(
𝑥
−
𝑎
)
⟹
𝛿
0
𝜙
=
𝜙
′
(
𝑥
)
−
𝜙
(
𝑥
)
=
−
𝑎
𝜇
𝜕
𝜇
𝜙
(131)
将
𝛿
0
𝜙
代入
𝑗
𝜇
得到
:
𝑗
𝜇
=
(
(
(
(
(
ℒ
𝛿
𝜇
𝜈
−
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝜕
𝜈
𝜙
)
)
)
)
)
𝑎
𝜈
(132)
这里我们省略
𝑎
𝜈
,
并用度规
𝑔
将指标
𝜈
升上去
,
得到
:
𝑇
𝜇
𝜈
=
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝜕
𝜈
𝜙
−
ℒ
𝑔
𝜇
𝜈
,
𝜕
𝜇
𝑇
𝜇
𝜈
=
0
(133)
我们称
𝑇
𝜇
𝜈
为
能量动量张量
.
为了研究
𝑇
𝜇
𝜈
的物理意义
,
我们考察它对应的
Noether
荷
:
𝑝
𝜈
=
∫
d
3
𝑥
𝑇
0
𝜈
(134)
其中
𝜈
=
0
时
:
𝑝
0
=
∫
d
3
𝑥
𝑇
0
0
=
∫
d
3
𝑥
(
(
(
(
𝜕
ℒ
𝜕
̇
𝜙
̇
𝜙
−
ℒ
)
)
)
)
=
∫
d
3
𝑥
(
𝜋
̇
𝜙
−
ℒ
)
=
∫
d
3
𝑥
ℋ
(135)
𝑇
0
0
即为
能量密度
.
𝜈
=
𝑖
=
1
,
2
,
3
时
:
𝑝
𝑖
=
∫
d
3
𝑥
𝑇
0
𝑖
=
∫
d
3
𝑥
𝜋
𝜕
𝑖
𝜙
(136)
𝑇
0
𝑖
为
动量密度
(
不是共轭动量
!).
EXAMPLE
1
ℒ
=
1
2
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
2
, shift symmetry:
𝜙
⟶
𝜙
′
=
𝜙
+
𝑎
,
𝛿
𝜙
=
𝜙
′
−
𝜙
=
𝑎
.
Noether
流
:
𝑗
𝜇
=
𝜕
ℒ
𝜕
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
𝑎
=
𝜕
𝜇
𝜙
,
𝜕
𝜇
𝑗
𝜇
=
□
𝜙
=
0
(137)
EXAMPLE
2
ℒ
CKG
=
|
𝜕
𝜇
𝜙
|
2
−
𝑚
2
|
𝜙
|
2
,
𝑈
(
1
)
symmetry:
𝑈
(
1
)
:
{
{
{
{
{
𝜙
⟶
𝜙
′
=
e
i
𝛼
𝜙
𝜙
∗
⟶
𝜙
∗
′
=
e
−
i
𝛼
𝜙
∗
⟹
{
{
{
{
{
𝛿
𝜙
=
i
𝛼
𝜙
𝛿
𝜙
∗
=
−
i
𝛼
𝜙
∗
(138)
Noether
流
:
𝑗
𝜇
=
i
[
(
𝜕
𝜇
𝜙
∗
)
𝜙
−
𝜙
∗
𝜕
𝜇
𝜙
]
(139)
Noether
荷
:
𝑄
=
∫
d
3
𝑥
𝑗
0
=
i
∫
d
3
𝑥
[
̇
𝜙
∗
𝜙
−
𝜙
∗
̇
𝜙
]
(140)
这里的
𝑄
就是电荷
.
E.
量子化
K-G
场论
E.1.
正则量子化
回顾
K-G
场的
Lagrangian density:
ℒ
=
1
2
(
𝜕
𝜇
𝜙
)
2
−
1
2
𝑚
2
𝜙
2
(141)
共轭动量密度
𝜋
=
̇
𝜙
. Hamiltonian density:
ℋ
(
𝜋
,
𝜙
)
=
𝜋
̇
𝜙
−
ℒ
=
𝑇
0
0
=
1
2
𝜋
2
+
1
2
(
𝛁
𝜙
)
2
+
1
2
𝑚
2
𝜙
2
(142)
回忆
NRQM
中的量子化过程
:
̂
𝐻
(
̂
𝑝
,
̂
𝑞
)
=
̂
𝑝
2
2
𝑚
+
𝑉
(
̂
𝑞
)
[
̂
𝑝
𝑖
,
̂
𝑞
𝑗
]
=
i
𝛿
𝑖
𝑗
,
[
̂
𝑝
𝑖
,
̂
𝑝
𝑗
]
=
[
̂
𝑞
𝑖
,
̂
𝑞
𝑗
]
=
0
(143)
我们将这个过程推广到场论中
,
应该有
:
[
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
,
̂
𝜋
(
⃗
𝑦
,
𝑡
)
]
=
i
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑥
−
⃗
𝑦
)
(144)
我们目前找不到显然的方法来实现
,
尝试对
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
作
Fourier
展开
:
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
̃
𝜙
(
⃗
𝑝
,
𝑡
)
(145)
代入
K-G
方程得到
:
(
□
+
𝑚
2
)
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
0
⟹
(
(
(
(
(
(
(
(
𝜕
2
𝜕
𝑡
2
+
⃗
𝑝
2
+
𝑚
2
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
𝜔
2
⃗
𝑝
)
)
)
)
)
)
)
)
̃
𝜙
(
⃗
𝑝
,
𝑡
)
=
0
(146)
注意到
𝜔
⃗
𝑝
=
√
⃗
𝑝
2
+
𝑚
2
.
注意到一维简单谐振子
Hamiltonian:
𝐻
SHO
=
𝑝
2
2
+
1
2
𝜔
2
𝑥
2
(
𝑚
=
1
)
̂
𝑥
=
1
√
2
𝜔
(
𝑎
+
𝑎
†
)
,
̂
𝑝
=
−
i
√
𝜔
2
(
𝑎
−
𝑎
†
)
[
𝑎
,
𝑎
†
]
=
1
(147)
Hamiltonian
写成
:
̂
𝐻
SHO
=
𝜔
(
𝑎
†
𝑎
+
1
2
)
(148)
并且有对易关系
:
[
𝐻
SHO
,
𝑎
†
]
=
𝜔
𝑎
†
,
[
𝐻
SHO
,
𝑎
]
=
−
𝜔
𝑎
(149)
湮灭算符
𝑎
可以湮灭真空
:
𝑎
|
0
⟩
=
0
(150)
𝑛
态可以写成
:
|
𝑛
⟩
=
(
𝑎
†
)
𝑛
|
0
⟩
(151)
回到
K-G
场
,
Hamiltonian density :
ℋ
(
𝜋
,
𝜙
)
=
1
2
𝜋
2
+
1
2
(
𝛁
𝜙
)
2
+
1
2
𝑚
2
𝜙
2
(152)
要得到的量子化
:
[
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
,
̂
𝜋
(
⃗
𝑦
)
]
=
i
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑥
−
⃗
𝑦
)
[
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
,
̂
𝜙
(
⃗
𝑦
)
]
=
[
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
)
,
̂
𝜋
(
⃗
𝑦
)
]
=
0
(153)
这里我们使用了薛定谔绘景
(
Schrödinger picture),
因此
𝜙
和
𝜋
不需要依赖于时间
.
在海森堡绘景
(
Heisenberg
pictuer)
下需要
̂
𝜙
和
̂
𝜋
是同时的
,
此时称为
等时量子化
.
为了得到量子化
,
将
̂
𝜙
和
̂
𝜋
写成
:
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝜔
⃗
𝑝
(
𝑎
⃗
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
+
𝑎
†
⃗
𝑝
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
(
−
i
)
√
𝜔
⃗
𝑝
2
(
𝑎
⃗
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
−
𝑎
†
⃗
𝑝
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
(154)
⟹
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝜔
⃗
𝑝
(
𝑎
⃗
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
+
𝑎
†
−
⃗
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝜔
⃗
𝑝
(
𝑎
⃗
𝑝
+
𝑎
†
−
⃗
𝑝
)
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
(
−
i
)
√
𝜔
⃗
𝑝
2
(
𝑎
⃗
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
−
𝑎
†
−
⃗
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
(
−
i
)
√
𝜔
⃗
𝑝
2
(
𝑎
⃗
𝑝
−
𝑎
†
−
⃗
𝑝
)
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
(155)
对易关系
:
[
𝑎
⃗
𝑝
,
𝑎
†
⃗
𝑝
′
]
=
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑝
′
)
[
𝑎
⃗
𝑝
,
𝑎
⃗
𝑝
′
]
=
[
𝑎
†
⃗
𝑝
,
𝑎
†
⃗
𝑝
′
]
=
0
(156)
我们可以验证
:
[
𝜙
(
⃗
𝑥
)
,
𝜋
(
⃗
𝑥
′
)
]
=
∬
d
3
𝑝
d
3
𝑝
′
(
2
𝜋
)
6
(
−
i
2
)
√
𝜔
⃗
𝑝
′
𝜔
⃗
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
e
i
⃗
𝑝
′
·
⃗
𝑥
′
[
𝑎
⃗
𝑝
+
𝑎
†
−
⃗
𝑝
,
𝑎
⃗
𝑝
′
−
𝑎
†
−
⃗
𝑝
′
]
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
=
[
𝑎
†
−
⃗
𝑝
,
𝑎
⃗
𝑝
′
]
−
[
𝑎
⃗
𝑝
,
𝑎
†
−
⃗
𝑝
]
=
−
2
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
+
⃗
𝑝
′
)
=
i
∬
d
3
𝑝
d
3
𝑝
′
(
2
𝜋
)
3
√
𝜔
⃗
𝑝
′
𝜔
⃗
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
e
i
⃗
𝑝
′
·
⃗
𝑥
′
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
+
⃗
𝑝
′
)
=
i
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
e
i
⃗
𝑝
·
(
⃗
𝑥
−
⃗
𝑥
′
)
=
i
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑥
−
⃗
𝑥
′
)
(157)
同样的
,
可以验证
[
𝜙
(
⃗
𝑥
)
,
𝜙
(
⃗
𝑥
′
)
]
=
[
𝜋
(
⃗
𝑥
)
,
𝜋
(
⃗
𝑥
′
)
]
=
0
(158)
这样的量子化称为
正则量子化
.
于是我们可以给出
Hamiltonian:
̂
𝐻
=
∫
d
3
𝑥
[
1
2
̂
𝜋
2
+
1
2
(
∇
̂
𝜙
)
2
+
1
2
𝑚
2
̂
𝜙
2
]
=
∫
d
3
𝑥
∬
d
3
𝑝
d
3
𝑝
′
(
2
𝜋
)
6
e
i
(
⃗
𝑝
+
⃗
𝑝
′
)
·
⃗
𝑥
{
{
{
{
{
−
√
𝜔
⃗
𝑝
𝜔
⃗
𝑝
′
4
(
𝑎
⃗
𝑝
−
𝑎
†
−
⃗
𝑝
)
(
𝑎
⃗
𝑝
′
−
𝑎
†
−
⃗
𝑝
′
)
+
−
⃗
𝑝
·
⃗
𝑝
′
+
𝑚
2
4
√
𝜔
⃗
𝑝
𝜔
⃗
𝑝
′
(
𝑎
⃗
𝑝
+
𝑎
†
−
⃗
𝑝
)
(
𝑎
⃗
𝑝
′
+
𝑎
†
−
⃗
𝑝
′
)
}
}
}
}
}
=
∬
d
3
𝑝
d
3
𝑝
′
(
2
𝜋
)
6
∫
d
3
𝑥
e
i
(
⃗
𝑝
+
⃗
𝑝
′
)
·
⃗
𝑥
{
{
{
{
{
−
√
𝜔
⃗
𝑝
𝜔
⃗
𝑝
′
4
(
𝑎
⃗
𝑝
−
𝑎
†
−
⃗
𝑝
)
(
𝑎
⃗
𝑝
′
−
𝑎
†
−
⃗
𝑝
′
)
+
−
⃗
𝑝
·
⃗
𝑝
′
+
𝑚
2
4
√
𝜔
⃗
𝑝
𝜔
⃗
𝑝
′
(
𝑎
⃗
𝑝
+
𝑎
†
−
⃗
𝑝
)
(
𝑎
⃗
𝑝
′
+
𝑎
†
−
⃗
𝑝
′
)
}
}
}
}
}
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
{
−
𝜔
⃗
𝑝
4
(
𝑎
⃗
𝑝
−
𝑎
†
−
⃗
𝑝
)
(
𝑎
−
⃗
𝑝
−
𝑎
†
⃗
𝑝
)
+
𝜔
⃗
𝑝
4
(
𝑎
⃗
𝑝
+
𝑎
†
−
⃗
𝑝
)
(
𝑎
−
⃗
𝑝
+
𝑎
†
⃗
𝑝
)
}
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
𝜔
⃗
𝑝
(
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
⃗
𝑝
+
1
2
[
𝑎
⃗
𝑝
,
𝑎
†
⃗
𝑝
]
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
𝜔
⃗
𝑝
(
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
⃗
𝑝
+
1
2
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
3
)
(
0
)
)
(159)
从这个式子可以理解
,
QFT
实际上是无穷多个独立的谐振子的耦合
.
可以计算
̂
𝐻
与产生湮灭算符的对易关系
:
[
̂
𝐻
,
𝑎
†
⃗
𝑝
]
=
𝜔
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑝
,
[
̂
𝐻
,
𝑎
⃗
𝑝
]
=
−
𝜔
⃗
𝑝
𝑎
⃗
𝑝
(160)
类比谐振子的类似关系
:
公式
149
.
真空能
:
̂
𝐻
|
0
⟩
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
𝜔
⃗
𝑝
1
2
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
0
)
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
真空能
|
0
⟩
=
𝐸
val
|
0
⟩
⟹
̂
𝐻
𝑎
†
⃗
𝑝
|
0
⟩
=
[
̂
𝐻
,
𝑎
†
⃗
𝑝
]
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
𝜔
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑝
|
0
⟩
+
𝐸
val
𝑎
†
⃗
𝑝
|
0
⟩
=
(
𝐸
val
+
𝜔
⃗
𝑝
)
𝑎
†
⃗
𝑝
|
0
⟩
⟹
̂
𝐻
𝑎
†
⃗
𝑝
1
𝑎
†
⃗
𝑝
2
⋯
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑛
|
0
⟩
=
(
𝐸
val
+
𝜔
⃗
𝑝
1
+
𝜔
⃗
𝑝
2
+
⋯
+
𝜔
⃗
𝑝
𝑛
)
𝑎
†
⃗
𝑝
1
𝑎
†
⃗
𝑝
2
⋯
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑛
|
0
⟩
(161)
注意到
零点能是发散的
𝑐
-number.
但是我们只关心各个态之间的能量差
,
因此可以忽略掉无穷大的常数项
.
我们也可以得到总动量
:
̂
𝑃
=
−
∫
d
3
𝑥
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
)
𝛁
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
⃗
𝑝
(162)
总动量满足对易关系
:
[
̂
𝑃
,
𝑎
†
⃗
𝑝
]
=
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑝
,
[
̂
𝑃
,
𝑎
⃗
𝑝
]
=
−
⃗
𝑝
𝑎
⃗
𝑝
(163)
正则排序
是丢去真空能项使得真空态
|
0
⟩
湮灭的操作
,
如
:
̂
𝐻
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
𝜔
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
⃗
𝑝
,
̂
𝐻
|
0
⟩
=
0
(164)
于是有
{
{
{
{
{
{
{
⃗
𝑃
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑞
⋯
|
0
⟩
=
(
⃗
𝑝
+
⃗
𝑞
+
⋯
)
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑞
⋯
|
0
⟩
𝐻
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑞
⋯
|
0
⟩
=
(
𝜔
⃗
𝑝
+
𝜔
⃗
𝑞
+
⋯
)
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑞
⋯
|
0
⟩
(165)
这里
𝜔
𝑝
=
√
𝑝
2
+
𝑚
2
就是系统的能量
,
我们将其直接记成
𝐸
𝑝
,
它总是正的
.
回忆
QM:
全同粒子可以分为费米子
(
Fermions)
和玻色子
(
Bosons).
费米子遵循
F-D
统计
,
玻色子遵循
B-E
统计
.
其中
,
对于玻色子有
:
𝜙
(
𝑥
1
,
…
,
𝑥
𝑖
,
𝑥
𝑗
,
…
,
𝑥
𝑛
)
=
𝜙
(
𝑥
1
,
…
,
𝑥
𝑗
,
𝑥
𝑖
,
…
,
𝑥
𝑛
)
(166)
对于
KG
场论
,
由于
|
⃗
𝑝
⟩
∼
𝑎
†
⃗
𝑝
|
0
⟩
⟹
{
{
{
{
{
{
{
|
⃗
𝑝
,
⃗
𝑞
⟩
∼
𝑎
†
⃗
𝑝
𝑎
†
⃗
𝑞
|
0
⟩
|
⃗
𝑞
,
⃗
𝑝
⟩
∼
𝑎
†
⃗
𝑞
𝑎
†
⃗
𝑝
|
0
⟩
(167)
由于
[
𝑎
⃗
𝑝
,
𝑎
⃗
𝑞
]
=
[
𝑎
†
⃗
𝑝
,
𝑎
†
⃗
𝑞
]
=
0
得到
:
|
⃗
𝑝
,
⃗
𝑞
⟩
=
|
⃗
𝑞
,
⃗
𝑝
⟩
(168)
显然
,
K-G
场激发的粒子是玻色子
.
E.2.
单粒子态归一化
由前文我们知道
:
|
⃗
𝑝
⟩
∝
𝑎
†
⃗
𝑝
|
0
⟩
(169)
选取归一化的真空态
:
⟨
0
|
0
⟩
=
1
(170)
在非相对论性量子力学中
:
⟨
⃗
𝑝
|
⃗
𝑞
⟩
=
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
(171)
我们发现这个归一化不是
Lorentz
不变的
.
考察
𝑝
到
𝑝
′
及
𝐸
到
𝐸
′
沿
3
方向的
Lorentz boost
变换
:
𝑝
3
⟶
𝑝
′
3
=
𝛾
(
𝑝
3
+
𝛽
𝐸
)
𝐸
⟶
𝐸
′
=
𝛾
(
𝐸
+
𝛽
𝑝
3
)
(172)
考察
𝛿
函数
:
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
⟶
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
(173)
由于
𝛿
函数有这样的性质
:
𝛿
(
𝑓
(
𝑥
)
−
𝑓
(
𝑥
0
)
)
=
𝑓
(
𝑥
−
𝑥
0
)
|
𝑥
0
|
(174)
应用到
𝛿
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
上
,
得到
:
𝛿
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
=
𝛿
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
d
𝑝
′
3
/
d
𝑝
3
⟹
𝛿
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
=
𝛿
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
d
𝑝
′
3
d
𝑝
3
=
𝛿
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
𝛾
(
1
+
𝛽
d
𝐸
d
𝑝
3
)
(175)
由于
𝐸
=
√
𝑚
2
+
𝑝
2
1
+
𝑝
2
2
+
𝑝
2
3
⟹
d
𝐸
d
𝑝
3
=
𝑝
3
𝐸
(176)
因此
:
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
=
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
𝛾
(
1
+
𝛽
𝑝
3
𝐸
)
=
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
𝛾
(
𝐸
+
𝛽
𝑝
3
)
𝐸
=
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
𝐸
′
𝐸
(177)
即
:
⟹
𝐸
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
=
𝐸
′
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
′
−
⃗
𝑞
′
)
(178)
我们发现
𝐸
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
(179)
是
Lorentz
不变的
.
为了与
公式
154
保持一致
,
我们一般会乘上系数
2
,
规定单粒子归一化条件
:
⟨
⃗
𝑝
|
⃗
𝑞
⟩
=
2
𝐸
𝑝
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
(180)
设单粒子态
:
|
⃗
𝑝
⟩
=
𝜒
𝑝
𝑎
†
𝑝
|
0
⟩
,
|
⃗
𝑞
⟩
=
𝜒
𝑞
𝑎
†
𝑞
|
0
⟩
(181)
则
:
⟨
𝑝
|
𝑞
⟩
=
𝜒
†
𝑝
𝜒
𝑞
⟨
0
|
𝑎
𝑝
𝑎
†
𝑞
|
0
⟩
=
𝜒
†
𝑝
𝜒
𝑞
⟨
0
|
[
𝑎
𝑝
,
𝑎
†
𝑞
]
+
𝑎
†
𝑞
𝑎
𝑝
|
0
⟩
=
𝜒
†
𝑝
𝜒
𝑞
⟨
0
|
0
⟩
[
𝑎
𝑝
,
𝑎
†
𝑞
]
=
𝜒
†
𝑝
𝜒
𝑞
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
=
|
𝜒
𝑝
|
2
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
=
2
𝐸
𝑝
(
2
𝜋
)
3
𝛿
(
3
)
(
⃗
𝑝
−
⃗
𝑞
)
(182)
得到单粒子态
:
⟹
𝜒
𝑝
=
√
2
𝐸
𝑝
,
|
⃗
𝑝
⟩
=
√
2
𝐸
𝑝
𝑎
†
𝑝
|
0
⟩
(183)
下面证明积分元
∫
d
3
𝑝
2
𝐸
𝑝
是
Lorentz
不变的
:
考虑积分
∫
d
4
𝑝
𝛿
(
𝑝
2
−
𝑚
2
)
𝜃
(
𝑝
0
)
(184)
这个积分是
Lorentz
不变的
:
显然
d
4
𝑝
和
𝛿
(
𝑝
2
−
𝑚
2
)
是
Lorentz
不变的
,
而能量
𝐸
𝑝
=
𝑝
0
在
Lorentz
变换
下也不会改变符号
,
即
𝜃
(
𝑝
0
)
也是
Lorentz
不变的
.
因此
:
∫
d
4
𝑝
𝛿
(
𝑝
2
−
𝑚
2
)
𝜃
(
𝑝
0
)
=
∫
d
3
𝑝
∫
d
𝐸
𝛿
(
𝐸
2
−
𝐸
2
𝑝
)
𝜃
(
𝐸
)
=
∫
d
3
𝑝
∫
d
𝐸
𝛿
(
𝐸
−
𝐸
𝑝
)
+
𝛿
(
𝐸
+
𝐸
𝑝
)
2
𝐸
𝑝
𝜃
(
𝐸
)
=
∫
d
3
𝑝
2
𝐸
(185)
因此
∫
d
3
𝑝
2
𝐸
(186)
是
Lorentz
不变的
.
最后我们来研究场算符
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
的物理意义
.
考虑将
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
作用在真空上
:
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
|
0
⟩
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
(
𝑎
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
+
𝑎
†
𝑝
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
|
0
⟩
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
|
⃗
𝑝
⟩
(187)
我们注意到这个表达式与非相对论量子力学里的位置算符
|
⃗
𝑥
⟩
表达式
:
|
⃗
𝑥
⟩
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
|
⃗
𝑝
⟩
(188)
类似
.
事实上
,
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
作用在真空上
,
可以认为在
⃗
𝑥
处产生一个粒子
.
需要注意的是
,
在
QFT
中
,
⃗
𝑥
永远不可以是
算符
,
也没有
|
⃗
𝑥
⟩
这样的概念
!
我们再来考察矩阵元
⟨
0
|
𝜙
(
⃗
𝑥
)
|
⃗
𝑝
⟩
:
⟨
0
|
𝜙
(
⃗
𝑥
)
|
⃗
𝑝
⟩
=
⟨
0
|
|
|
|
|
∫
d
3
𝑝
′
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
′
(
𝑎
𝑝
′
e
i
⃗
𝑝
′
·
⃗
𝑥
+
𝑎
†
𝑝
′
e
−
i
⃗
𝑝
′
·
⃗
𝑥
)
√
2
𝐸
𝑝
𝑎
†
𝑝
|
|
|
|
|
0
⟩
=
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
(189)
回忆非相对论量子力学里的位置和动量乘积
:
⟨
⃗
𝑥
|
⃗
𝑝
⟩
=
e
i
⃗
𝑥
·
⃗
𝑝
(190)
某种意义上我们可以把两者相类比
(
不是等价
!):
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
作用在真空上
,
可以认为在
⃗
𝑥
处产生一个粒子
.
E.3.
Heisenberg
绘景下的
K-G
场论
在
Heisenberg picture
下
,
我们约定算符是随时间演化的
,
而态不随时间演化
.
我们需要考虑任意时刻的量子场
,
因此我们转到
Heisenberg
绘景
.
Heisenberg
绘景中算符的演化
:
𝑂
𝐻
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
e
i
𝐻
𝑡
𝑂
(
⃗
𝑥
,
𝑡
=
0
)
e
−
i
𝐻
𝑡
(191)
对于场算符
:
̂
𝜙
(
𝑥
)
=
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
e
i
𝐻
𝑡
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
e
−
i
𝐻
𝑡
(192)
Heisenberg
运动方程
:
i
𝜕
𝜕
𝑡
𝐴
=
[
𝐴
,
𝐻
]
(193)
代入
̂
𝜙
(
𝑥
)
:
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
{
i
𝜕
𝜕
𝑡
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
[
̂
𝜙
,
𝐻
]
=
[
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
,
∫
d
3
𝑥
′
{
1
2
𝜋
2
(
⃗
𝑥
′
,
𝑡
)
+
1
2
(
𝛁
𝜙
(
⃗
𝑥
′
,
𝑡
)
)
2
+
1
2
𝑚
2
𝜙
2
(
⃗
𝑥
′
,
𝑡
)
}
]
=
i
∫
d
3
𝑥
′
𝛿
3
(
⃗
𝑥
−
⃗
𝑥
′
)
𝜋
(
⃗
𝑥
′
,
𝑡
)
=
i
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
i
𝜕
𝜕
𝑡
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
[
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
,
∫
d
3
𝑥
′
{
1
2
𝜋
2
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
+
1
2
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
(
−
𝛁
2
+
𝑚
2
)
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
}
]
(194)
显然第一个式子回到了场论的共轭动量的表达式
𝜋
=
̇
𝜙
.
继续推导第二个表达式
:
i
𝜕
𝜕
𝑡
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
i
(
𝛁
2
−
𝑚
2
)
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
⟹
𝜕
𝜕
𝑡
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
(
𝛁
2
−
𝑚
2
)
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
(195)
代入上一式
,
整合得到
:
𝜕
2
𝜕
𝑡
2
̂
𝜙
=
(
𝛁
2
−
𝑚
2
)
̂
𝜙
⟺
(
□
+
𝑚
2
)
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
0
(196)
我们发现
̂
𝜙
依然满足
K-G
方程
.
同样的
,
我们定义时间依赖的产生湮灭算符
:
𝑎
𝑝
(
𝑡
)
=
e
i
𝐻
𝑡
𝑎
𝑝
e
−
i
𝐻
𝑡
𝑎
†
𝑝
(
𝑡
)
=
e
i
𝐻
𝑡
𝑎
†
𝑝
e
−
i
𝐻
𝑡
(197)
则有
:
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
e
i
𝐻
𝑡
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
)
e
−
i
𝐻
𝑡
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
(
e
i
𝐻
𝑡
𝑎
𝑝
e
−
i
𝐻
𝑡
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
+
e
i
𝐻
𝑡
𝑎
†
𝑝
e
−
i
𝐻
𝑡
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
(
𝑎
𝑝
(
𝑡
)
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
+
𝑎
†
𝑝
(
𝑡
)
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
(198)
我们试图知道产生湮灭算符在
𝑡
时刻与
0
时刻有什么关系
,
我们将
𝑎
𝑝
(
𝑡
)
对时间求导数
:
d
d
𝑡
𝑎
𝑝
(
𝑡
)
=
e
i
𝐻
𝑡
i
𝐻
𝑎
𝑝
e
−
i
𝐻
𝑡
+
e
i
𝐻
𝑡
𝑎
𝑝
(
−
i
𝐻
)
e
−
i
𝐻
𝑡
=
i
e
i
𝐻
𝑡
[
𝐻
,
𝑎
𝑝
]
e
−
i
𝐻
𝑡
=
−
i
𝐸
𝑝
𝑎
𝑝
(
𝑡
)
⟹
𝑎
𝑝
(
𝑡
)
=
𝑎
𝑝
e
−
i
𝐸
𝑝
𝑡
(199)
类似的
,
有
:
𝑎
†
𝑝
(
𝑡
)
=
𝑎
†
𝑝
e
i
𝐸
𝑝
𝑡
(200)
于是继续将
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
写成
:
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
(
𝑎
𝑝
e
−
i
𝐸
𝑝
𝑡
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
+
𝑎
†
𝑝
e
i
𝐸
𝑝
𝑡
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
(
𝑎
𝑝
e
−
i
𝐸
𝑝
𝑡
+
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
+
𝑎
†
𝑝
e
i
𝐸
𝑝
𝑡
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
(201)
引入
4-
动量
𝑝
𝜇
=
(
𝑝
0
,
⃗
𝑝
)
=
(
𝐸
𝑝
,
⃗
𝑝
)
,
有
:
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
(
(
(
(
(
(
(
(
𝑎
𝑝
e
−
i
𝑝
·
𝑥
⏟
⏟
⏟
⏟
⏟
正频部分
+
𝑎
†
𝑝
e
i
𝑝
·
𝑥
⏟
负频部分
)
)
)
)
)
)
)
)
|
|
|
|
|
|
𝑝
0
=
𝐸
𝑝
=
√
𝑝
2
+
𝑚
2
̂
𝜋
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
̇
̂
𝜙
=
𝜕
𝜕
𝑡
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
(202)
之所以前项是正频部分
,
后项是负频部分
,
我们联系
Schrödinger
方程
i
̇
𝜓
=
𝐻
𝜓
=
𝐸
𝜓
其中
𝜓
刻画了一
个能量本征态
:
𝜓
∝
e
−
i
𝐸
𝑡
,
𝐸
=
𝐸
𝑝
>
0
,
这对应我们正频的情况
.
而负频则对应了能量本征值
𝐸
=
−
𝐸
𝑝
<
0
的情况
.
将
𝑎
†
𝑝
作用在真空
|
0
⟩
上
:
𝑎
†
𝑝
|
0
⟩
则对应了一个能量为
𝐸
𝑝
的粒子态
;
即
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
作用在真空
|
0
⟩
上
,
对应了一个能量为
𝐸
𝑝
的粒子态
.
同样的
,
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
作用在真空
⟨
0
|
上
,
也会得到一个能量为
𝐸
𝑝
的粒子态
——
这
里不会再出现负能
!
因此量子场论解决了相对论性量子力学里的负能解问题
.
EXAMPLE
3
对于
complex K-G
场论
,
Lagrangian:
ℒ
=
|
𝜕
𝜇
𝜙
|
2
−
𝑚
2
|
𝜙
|
2
(203)
此时可以将场算符写成
:
̂
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
∫
d
3
𝑝
(
2
𝜋
)
3
1
√
2
𝐸
𝑝
(
𝑎
𝑝
e
−
i
𝑝
·
𝑥
+
𝑏
†
𝑝
e
i
𝑝
·
𝑥
)
(204)
这里
𝑎
𝑝
物理意义是湮灭一个粒子
,
而
𝑏
†
𝑝
是产生一个反粒子
.
类似地
,
可以作空间平移
:
𝜙
(
⃗
𝑥
)
=
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
𝜙
(
⃗
𝑥
=
0
)
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
(205)
利用
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
𝑎
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
=
𝑎
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
𝑎
†
𝑝
e
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
=
𝑎
†
𝑝
e
−
i
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
(206)
一般的
,
有时空平移
:
𝜙
(
⃗
𝑥
,
𝑡
)
=
e
i
(
𝐻
𝑡
−
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
𝜙
(
0
)
e
−
i
(
𝐻
𝑡
−
⃗
𝑝
·
⃗
𝑥
)
=
e
i
𝑝
·
𝑥
𝜙
(
0
)
e
−
i
𝑝
·
𝑥
,
𝑝
=
(
𝐻
,
⃗
𝑝
)
(207)
E.4.
因果性
;
两点关联函数