Quantum Field Theoryterunote使用Typst排版, 由于使用还不成熟, 如有typo感谢指出note使用了physica package, 如有显示错误请告知mail: 0w0@ruriko.moehomepage: ruriko.moenote基于贾宇老师的课堂内容整理.目录A. 相对论性量子力学回顾 ................................................................................................................................ 1A.1. Klein-Gordon方程 ............................................................................................................................... 1A.2. Dirac 方程 ............................................................................................................................................. 1A.3. 利用K-G方程与Dirac方程计算氢原子能谱 ......................................................................................... 1A.3.1. K-G方程推导 ............................................................................................................................. 1A.3.2. Dirac 方程推导 ........................................................................................................................... 1A.4. Dirac方程计算电子磁矩 ................................................................................................................... 1B. QFT的诞生 ................................................................................................................................................. 1B.1. 一维经典弦的量子化 ............................................................................................................................. 1C. 经典场论 ..................................................................................................................................................... 1C.1. Lorentz变换 ......................................................................................................................................... 1C.2. 场的分类 ............................................................................................................................................... 1C.3. 场的Euler-Lagrange方程 ..................................................................................................................... 1C.4. 对称性 Symmetry ................................................................................................................................. 1D. Noether定理 (对称性 守恒量) .............................................................................................................. 1E. 量子化 K-G 场论 .......................................................................................................................................... 1E.1. 正则量子化 ............................................................................................................................................ 1E.2. 单粒子态归一化 .................................................................................................................................... 1E.3. Heisenberg 绘景下的K-G场论 ............................................................................................................. 1E.4. 因果性; 两点关联函数 ........................................................................................................................... 1A.相对论性量子力学回顾Schrödinger方程的推导参见这个note (ruriko.moe/SchrodingerEquation).A.1.Klein-Gordon方程对动量 4-矢量有:𝑝=𝑝𝜇=(𝐸𝑐,𝑝),𝑝2=𝑚2𝑐2𝐸=𝑝2𝑐2𝑚2𝑐4𝐸2=𝑝2𝑐2+𝑚2𝑐4(1)得到Klein-Grdon方程:[[[1𝑐2𝜕2𝜕𝑡2𝛁2+(𝑚𝑐)2]]]𝜓=0, or(((+(𝑚𝑐)2)))𝜓=0,其中=𝑔𝜇𝜈𝜕𝜇𝜕𝜈 (d'Alembert 算符)(2)该方程存在下述两个问题:1.负能解: 导致真空不稳定.2.负几率: 波函数的概率诠释失效.下面我们来分析这两个问题:1.负能解:K-G方程的本征波函数𝜓KG=ei(𝑝·𝑥𝐸𝑡)(3)显然, 能量本征值:𝐸=±𝑝2𝑐2𝑚2𝑐4(4)我们发现, 能量存在负解 𝑝2𝑐2𝑚2𝑐4. 我们认为量子系统存在能量最低的粒子数为 0的真空态. 在存在负能解的情况下, 真空态的能量趋于 , 显然这会导致真空的不稳定.2.负几率:K-G方程可以写成连续性方程的形式:𝜕𝜕𝑡𝜌+·𝐽=0(5)其中:𝜌KG=𝑁Im(𝜓𝜕𝜕𝑡𝜓),𝐽KG=𝑁𝑐2Im(𝜓𝜓)(6)显然, 𝜌KG 不正定, 概率密度可能出现 𝜌KG0 的情况.A.2.Dirac 方程为了解决负几率问题, 提出了Dirac方程. Dirac方程通过Schrödinger方程i𝜕𝜕𝑡𝜓=𝐻𝜓(7)得到.考虑波函数 𝜓 是一个 𝑛 维矢量:𝜓(𝑥,𝑡)=((((((((((((𝜓1𝜓2𝜓𝑛))))))))))))(8)令所求方程形式为:i𝜕𝜕𝑡𝜓=[i𝑐𝛼·+𝛽𝑚𝑐2]𝜓(9)其中, 𝛼 𝑛 元矩阵矢量: 𝛼=(𝛼1,𝛼2,𝛼2) , 𝛼𝑖 (𝑖=1,2,3) 𝛽 为矩阵.狭义相对论要求对公式 9 两边算符平方 (作用两次) 会回到K-G方程:(i𝜕𝜕𝑡)2𝜓=𝐻2𝜓(10)2𝜕2𝜕𝑡2𝜓=2𝑐23𝑖𝑗=1{𝛼𝑖,𝛼𝑗}𝜕𝑖𝜕𝑗𝜓i𝑚𝑐33𝑖=1{𝛼𝑖,𝛽}𝜕𝑖𝜓+𝑚2𝑐4𝛽2𝜓(11)其中 {𝐴,𝐵}=𝐴𝐵+𝐵𝐴 为反对易算符.对比上式与K-G方程, 可以得到以下条件:{{{{{{{{{{𝛼𝑖,𝛽}=0{𝛼𝑖,𝛼𝑗}=2𝛿𝑖𝑗𝟙(𝛼𝑖)2=𝟙𝛽2=𝟙(12)我们发现, 𝑛=4 , 可以选取 4×4矩阵使以上条件成立. 于是, 我们记𝛾=𝛾𝜇=(𝛾0,𝛾)=(𝛽,𝛽𝛼)(13)则所求方程可以写为:(i𝛾𝜇𝜕𝜇𝑚𝑐)𝜓(𝑡,𝑥)=0(14)上式即Dirac方程.𝛾𝜇 的选取可以有多种形式, 两种常用的形式:𝛾0=(((0𝟙2×2𝟙2×20))),𝛾𝑖=(0𝜎𝑖𝜎𝑖0)Chiral-Weyl basis𝛾0=(((𝟙2×200𝟙2×2))),𝛾𝑖=(0𝜎𝑖𝜎𝑖0)Dirac-Pauli basis(15)note中我们使用Chiral-Weyl basis.可以验证, 将上式写成连续性方程的形式:𝜕𝜕𝑡𝜌+𝛁·𝑗=0(16)其中𝜌=𝜓𝜓=|𝜓|20,𝑗=𝑐𝜓𝛼𝜓(17)解决了负几率问题.Dirac方程的能量本征值𝐸=±𝑝2𝑐2+𝑚2𝑐4(18)没有解决负能解问题. 为了解决负能解问题, Dirac提出了Dirac sea理论, 并以此预言了正电子的存在.A.3.利用K-G方程与Dirac方程计算氢原子能谱A.3.1.K-G方程推导我们对K-G方程中的能量与动量做"最小耦合"处理:𝐸i𝜕𝜕𝑡+𝑒𝜙𝑝i𝛁+𝑒𝐴𝑐(19)代入K-G方程, :(𝐸𝑝2𝑐2𝑚2𝑐4)𝜓=0[[[[(i𝜕𝜕𝑡+𝑒𝜙)2𝑐2((((i𝛁+𝑒𝐴𝑐))))2𝑚2𝑐4]]]]𝜓=0(20)氢原子满足库伦势和定态解:𝐴𝜇=(𝑒4𝜋𝑟,0),𝜓(𝑡,𝑟)ei𝐸𝑡/𝜓(𝑟)(21)代入化简, 得定态方程:[[[(((𝐸+𝑒24𝜋𝑟)))22𝑐2𝛁2𝑚2𝑐4]]]𝜓(𝑟)=0(22)将波函数写成𝜓(𝑟)=𝑌𝑚(𝜃,𝜙)𝑅𝑛(𝑟)(23)即可解出氢原子能谱方程:𝐸𝑛𝑙=𝑚𝑐21+𝛼2(((𝑛𝑙12+(𝑙+12)2𝛼)))2=𝑚𝑐2[[[1𝛼22𝑛2𝛼42𝑛4(((((𝑛𝑙+1234)))))+]]](24)𝑙为角量子数.其中第一项是静止质量, 第二项是Bohr能级, 第三项即为相对论带来的修正. 第三项的相对论修正仍与实验结果有一定误差. 我们考虑Dirac方程.A.3.2.Dirac 方程推导同理, 我们对Dirac作最小耦合处理:(i𝜕𝜕𝑡+𝑒𝜙)𝜓=(i𝛁+𝑒𝑐𝐴)·𝛼𝜓+𝛽𝑚𝑐2𝜓,{{{{{𝑒𝜙=𝑒24𝜋𝑟𝐴=0[𝐻,i𝑟×𝛁+𝜎2]=0(25)解得能级为:𝐸𝑛𝑗=𝑚𝑐21+𝛼2(((𝑛𝑗12+(𝑗+12)2𝛼2)))2=𝑚𝑐2[[[1𝛼22𝑛2𝛼42𝑛4(((((𝑛𝑗+1234)))))+]]](26)𝑗为总量子数. 此项结果与实验吻合较好.A.4.Dirac方程计算电子磁矩J. J. Sakurai Modern Quantum Mechanics 8.2.4B.QFT的诞生B.1.一维经典弦的量子化考虑 𝑁 个质量 𝑚 的简谐振子组成的一维链,总长 𝐿0=𝑁𝑙 , 平衡状态下每个振子相距为 𝑙, 𝑛𝑖 为第 𝑖 个振, 其位置为 𝜂𝑖. 若振子 𝑛𝑖 产生了一个小偏移, 则其动能𝑇=𝑁𝑖=112𝑚𝑣2𝑖=𝑁𝑖=112𝑚̇𝜂2𝑖=12𝑚𝑁𝑖=1(d𝜂d𝑡)2(27)势能:𝑉=𝑁𝑖=112𝑘(𝜂𝑖+1𝜂𝑖)2(28)取连续极限:𝑁,𝑙0(29)得到:𝑇=12𝑚𝑁𝑖=1(d𝜂d𝑡)2=12𝑚𝑙𝑁𝑖=1𝑙(d𝜂d𝑡)2=12𝜇𝐿00d𝑥(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)𝜕𝑡)2𝑉=12𝑘𝑙𝑁𝑖=1𝑙(𝑛𝑖+1𝑛𝑖𝑙)2=12𝒯𝐿00d𝑥(𝜕𝜂(𝑥,𝑡)𝜕𝑥)2(30)其中 𝜇=𝑚/𝑙 为弦的线密度 [𝑀/𝐿], 𝒯=𝑘𝑙为弦的杨氏模量 (张力) [𝐸/𝐿].于是我们得到Lagrangian:𝐿=𝑇𝑉=𝐿00d𝑥[[[12𝜇(𝜕𝜂𝜕𝑡)212𝒯(𝜕𝜂𝜕𝑥)2]]](31)𝑢(𝑡,𝑥)=𝜇𝜂(𝑡,𝑥),𝑐=𝒯𝜇(32):𝐿=12𝐿00d𝑥[[[[((((𝜕(𝜇𝜂)𝜕𝑡))))2(𝒯𝜇)((((𝜕(𝜇𝜂)𝜕𝑥))))2]]]]=12𝐿00d𝑥[[[(𝜕𝑢𝜕𝑡)2𝑐2(𝜕𝑢𝜕𝑥)2]]]Lagrangian density(33)𝑐即波速. 故我们有Euler-Lagrange方程:𝜕2𝑢𝜕𝑡2𝑐2𝜕2𝑢𝜕𝑥2=0(34)令弦两端固定, 有边界条件:𝑢(𝑡,𝑥=0)=𝑢(𝑡,𝑥=𝐿0)=0(35)我们将 𝑢(𝑡,𝑥) 在位形空间 Fourier展开:𝑢(𝑡,𝑥)=𝑘=1𝑞𝑘(𝑡)sin(𝜔𝑘𝑥𝑐),𝜔𝑘=𝑘𝜋𝑐𝐿0(36)𝜔𝑘 即正则角频率. 代入Lagrangian表达式:𝐿=𝐿04𝑘=1[̇𝑞2𝑘(𝑡)𝜔2𝑘𝑞2𝑘(𝑡)](37)我们也可以得到相应的Euler-Language方程:̈𝑞𝑘(𝑡)+𝜔2𝑘𝑞2𝑘(𝑡)=0(38)我们定义正则动量𝑝𝑘=𝜕𝐿𝜕̇𝑞𝑘=𝐿02̇𝑞𝑘(𝑡)(39)Legendre变换:𝐻=𝑘=1𝑝𝑘̇𝑞𝑘𝐿=𝑘=1((((𝑝2𝑘𝐿0+𝐿04𝜔2𝑘𝑞2𝑘))))(40)量子力学中, 动量与位置算符满足 [̂𝑝,̂𝑥]=i. 在这里, 我们将位置 𝑞𝑘 和正则动量 𝑝𝑘 看作量子算符, 并满足对易关系 (等时量子化条件):[̂𝑝𝑘(𝑡),̂𝑞𝑗(𝑡)]=i𝛿𝑘𝑗,[̂𝑝𝑘(𝑡),̂𝑝𝑗(𝑡)]=[̂𝑞𝑘(𝑡),̂𝑞𝑗(𝑡)]=0(41)我们回忆量子力学里的简谐振子模型, 可以用粒子数算符表示为̂𝑥=2𝑚𝜔(𝑎+𝑎),̂𝑝=i𝑚𝜔2(𝑎𝑎)̂𝐻=𝜔(𝑎𝑎+12),𝑎|𝑛=𝑛|𝑛1,𝑎=𝑛+1|𝑛+1[𝑎,𝑎]=1(42)其中 𝑎 为下降算符 (lowering operator), 𝑎 为上升算符 (raising operator).同样的, 我们可以将上文给出的 𝑞𝑘 表示为:̂𝑞𝑘=𝐿0𝜔𝑘(𝑎𝑘ei𝜔𝑘𝑡+𝑎𝑘ei𝜔𝑘𝑡)((((̂𝑥=2𝑚𝜔(𝑎+𝑎)))))(43)其中, 𝑎𝑘 为湮灭算符 (annihilation operator), 𝑎𝑘 为产生算符 (creation operator). 若要满足公式 41 的量子化条件, 应有:[𝑎𝑘,𝑎𝑗]=𝛿𝑘𝑗([𝑎,𝑎]=1)[𝑎𝑘,𝑎𝑗]=[𝑎𝑘,𝑎𝑗]=0(44)公式 41 也可以给出̂𝑝𝑘=i𝐿0𝜔𝑘4(𝑎𝑘ei𝜔𝑘𝑡ei𝜔𝑘𝑡)(45)将产生湮灭算符给出的 ̂𝑞𝑘 ̂𝑝𝑘 代入Hamiltonian的表达式, 可以得到:𝐻=𝑘=1𝜔𝑘(𝑎𝑘𝑎𝑘+12)(46)因此, 我们可以把量子场理解为无穷多个谐振子的联合. 对于基态 |0, 𝑎𝑘|0=0,𝑘=1,,(47)𝐻𝑎𝑘|0=[𝐻,𝑎𝑘]|0+𝑎𝑘𝐻|0=𝜔𝑘𝑎𝑘|0+𝐸0𝑎𝑘|0=(𝐸0+𝜔𝑘)𝑎𝑘|0(48)因此我们称 𝑎𝑘 为湮灭算符, 𝑎𝑘 为产生算符.量子弦的能量本征态为|𝑛1,,𝑛𝑖,,𝑛𝑘(49)其中 𝑛𝑖 𝜔𝑖模式的粒子 (光子) . 描述这个本征态的空间称为Fork space:=𝑛𝐻𝑛(50)其中 𝐻𝑛 为固定了 𝑛 个粒子 (光子) Hilbert空间.由此我们可以把 (𝑎)𝑛 诠释为产生 𝑛 个粒子———粒子是场激发对应的量子.零点能𝐻|0=𝐸0|0=𝑘=112𝜔𝑘1𝑘(51)我们发现这个级数是发散的. 为了解决这个问题, 我们未来会引入"重整化".C.经典场论在场论中, 我们采用自然单位制 (God given unit/natural unit):=𝑐=1(52)在此单位制下, 我们有:[𝐸]=1=[𝑝]=[𝑚][𝐿]=[𝑡]=1(53)经典场的Lagrangian可以写成如下形式:𝐿=d3𝑥(𝑥,𝑡),𝑆=𝐿d𝑡(54)其中作用量 𝑆 是一个Lorentz标量 (Lorentz Scalar). 因此有:𝑆=d𝑡d𝑥3(𝑥,𝑡)=d4𝑥(𝑥)(55)在上式中, 作用量 𝑆 是一个实标量, d4𝑥 Lorentz不变量 (Lorentz invariance), 因此我们要求拉格朗日密度(Larangian density) (𝑥) 是一个Lorentz不变量.C.1.Lorentz变换对于4-矢量 𝑥𝜇=(𝑡,𝑥1,𝑥2,𝑥3), Lorentz变换𝑥𝜇Λ𝜇𝜈𝑥𝜈=𝑥𝜇(56)变换 Λ 包含了空间上的转动变换和时空上的boost变换, 比如绕 𝑥 轴的转动变换:Λ=(((((((((((11cos𝜃𝑥sin𝜃𝑥sin𝜃𝑥cos𝜃𝑥)))))))))))(57)𝑥 𝑡 上的boost变换Λ=(((((((((𝛾𝛾𝑣𝛾𝑣𝛾11)))))))))(58)这里我们定义快度 𝛽𝛽=12ln1+𝑣1𝑣(59):cosh𝛽=𝛾=11𝑣2sinh𝛽=𝛾𝑣(60)于是, 变换矩阵为:Λ=(((((((((((cosh𝛽sinh𝛽sinh𝛽cosh𝛽11)))))))))))(61)Lorentz变换𝑥𝜇=Λ𝜇𝜈𝑥𝜈(62)不改变时空间隔的长度:d𝑠2=𝑔𝜇𝜈d𝑥𝜇d𝑥𝜈=𝑔𝜌𝜎d𝑥𝜌d𝑥𝜎(63)公式 63 右侧的微分除到左侧, 得到:𝑔𝜇𝜈𝜕𝑥𝜇𝜕𝑥𝜌𝜕𝑥𝜈𝜕𝑥𝜎=𝑔𝜇𝜈Λ𝜇𝜌Λ𝜈𝜎=𝑔𝜌𝜎(Λ𝜌𝜈)𝖳𝑔𝜇𝜈Λ𝜈𝜎=𝑔𝜌𝜎(64)写成矩阵形式Λ𝖳𝑔Λ=𝑔(65)两边取determinantdet(Λ𝖳𝑔Λ)=det(𝑔)det(Λ𝖳)det(𝑔)det(Λ)=det(𝑔)det(Λ)2=1(66)我们得到det(Λ)=±1(67)Lorentz矩阵的特征值为 ±1.我们回到Lorentz变换𝑔𝜇𝜈Λ𝜇𝜌Λ𝜈𝜎=𝑔𝜌𝜎(68) 𝜌=𝜎=0, :𝑔𝜇𝜈Λ𝜇0Λ𝜈0=𝑔00=1(Λ00)23𝑖=1(Λ𝑖𝑜)2=1(Λ00)2=1+3𝑖=1(Λ𝑖𝑜)21(69)因此,我们发现Λ00+1orΛ001(70)四维时空中的矢量和张量可以是协变, 逆变或者协变逆变混合的:1.逆变量的Lorentz变换形如:𝑥𝜇𝑥𝜇=Λ𝜇𝜈𝑥𝜈𝑇𝜇𝜈𝑇𝜇𝜈=Λ𝜇𝜌Λ𝜈𝜎𝑇𝜌𝜎(71)2.协变量的Lorentz变换形如:𝑥𝜇𝑥𝜇=(Λ1)𝜈𝜇𝑥𝜈𝑇𝜇𝜈𝑇𝜇𝜈=(Λ1)𝜌𝜇(Λ1)𝜎𝜈𝑇𝜌𝜎(72)3.协变逆变混合量的Lorentz变换形如:𝑇𝜇𝜈𝑇𝜇𝜈=Λ𝜇𝜌(Λ1)𝜎𝜈𝑇𝜌𝜎(73)考虑矢量平方的Lorentz变换:𝑥2=𝑥𝜇𝑥𝜇𝑥2=𝑥𝜇𝑥𝜇=Λ𝜇𝜌𝑥𝜌(Λ1)𝜎𝜇𝑥𝜎=(Λ𝜇𝜌(Λ1)𝜎𝜇)𝑥𝜌𝑥𝜎=𝛿𝜎𝜌𝑥𝜌𝑥𝜎=𝑥2(74)C.2.场的分类我们可以按Lorentz变换下的行为对场进行分类为标量场, 矢量场, 张量场和旋量场.1.标量场𝜙(𝑥)𝜙(Λ1𝑥)=𝜙(𝑥)(75)2.矢量场, 如电磁场𝐴𝜇(𝑥)𝐴𝜇(Λ1𝑥)=Λ𝜇𝜈𝐴𝜈(Λ1𝑥)(76)3.张量场𝜇𝜈(𝑥)𝜇𝜈(Λ1𝑥)=Λ𝜇𝜌Λ𝜈𝜎𝜌𝜎(𝑥)(77)4.旋量场 (Dirac)𝜓(𝑥)𝜓(Λ1𝑥)=Λ12𝜓(𝑥)"spiner-field"(78)场论中的Lagrangian density可以包含形如以下这些的项:(𝑥)𝜙(𝑥), 𝜕𝜇𝜙(𝑥)𝜕𝜈𝜙(𝑥), 𝜙3(𝑥), 𝜙1000009(𝑥), sin𝜙(𝑥),(79)而不可以包含像这样的项:(𝑥)𝜕𝜇𝜙(𝑥):矢量, 不满足Lorentz invariance, 𝜙1𝜙, d3𝑦𝜙(𝑥)𝜙(𝑦)Nonlocal field(80)这里我们出于简单考虑, 要求我们的场论是定域 (局域) , 而不能是非定域 (全局) .由于 [d4𝑥]=4, 我们发现Lagrangian density的量纲是 []=+4. Lagrangian density 可以写成以下形式:=𝒦𝒱(81)其中 𝒦 项可以形如𝒦𝜙2 (自由场), 𝜕𝜇𝜙𝜕𝜇𝜙, 𝜕𝜇𝜙1𝜕𝜇𝜙2, 𝜕𝜇𝜙𝜕𝜇𝜙, 𝜕𝜇𝜙𝐴𝜇, 14𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈,(82)𝒱 项是相互作用项, 至少包含三线型𝒱𝜙3, 𝜙4, 𝑛4𝛾𝜇𝜓𝐴𝜇, 𝜕𝛾𝜙𝐴𝛾𝜙, (𝐴𝛾𝐴𝛾)2, 𝜕𝜇𝜇𝜈𝜕𝜈𝛼𝛽𝛼𝛽,(83)𝜙 的量纲 [𝜙]=+1.我们研究形如下式的K-G场的Largrangian density:KG=12𝜕𝜇𝜕𝜇𝜙12𝑚2𝜙2=12̇𝜙212𝛁𝜙·𝛁𝜙12𝑚2𝜙2(84)在经典力学中我们定义动量: 𝑝=𝜕𝐿𝜕̇𝑞, 同样的, 我们定义共轭动量密度𝜋(𝑥)=𝜕𝜕̇𝜙=̇𝜙(85)经典力学中通过Legendre 变换将Hamiltonian定义为 𝐻(𝑝,𝑞)=𝑝̇𝑞𝐿, 同样的, 我们定义场的Hamiltonian density:(𝑥)=𝜋̇𝜙(86)代入Lagrangian density, 我们得到:(𝜋,𝜙)=𝜋̇𝜙=12𝜋2+12(𝛁𝜙)2+12𝑚2𝜙20(87)我们发现这个场具有稳定的基态.C.3.场的Euler-Lagrange方程考虑场的作用量𝑆=d4𝑥(𝜙,𝜕𝜇𝜙)(88)我们对其取变分等于0:0=𝛿𝑆=d4𝑥𝛿(𝜙,𝜕𝜇𝜙)=d4𝑥[[[[[[𝜕𝜕𝜙𝛿𝜙+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿(𝜕𝜇𝜙)𝜕𝜇𝛿𝜙]]]]]]=d4𝑥[[[[𝜕𝜕𝜙𝛿𝜙+𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙)))))𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))𝛿𝜙]]]]=d4𝑥(((((𝜕𝜕𝜙𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)))))))))))𝛿𝜙+d4𝑥𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙)))))(89)第二项利用Gauss公式:d4𝑥𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙)))))=𝑗·dΣ=0(((((𝑗𝜇=𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙)))))(90)那么第二项积分应为 0, 于是有:𝛿𝑆=d4𝑥(((((𝜕𝜕𝜙𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)))))))))))𝛿𝜙=0(91)由于 𝛿𝜙 的取值任意, 那么我们得到场的Euler-Lagrange方程 (equation of motion, 运动方程):𝜕𝜕𝜙𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))=0(92)我们将上文中的 代入公式 92 ,:𝜕𝜕𝜙=𝑚2𝜙,𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)=𝜙(+𝑚2)𝜙=0(K-G方程)(93)习题:1.=12(𝜕𝜇𝜙)212𝑚2𝜙2𝜆4!𝜙42.CKG=𝜕𝜇𝜙𝜕𝜇𝜙𝑚2|𝜙|23.Max=14𝐹𝜇𝜈𝐹𝜇𝜈𝐴𝜇𝑗𝜈C.4.对称性 Symmetry对称性是指, 在系统的动力学不变.系统的对称性的判据可以是, 在对称操作下:1.系统的运动方程保持不变;2.系统的作业量 (action) 保持不变.K-G 场的 Larangian:KG=12(𝜕𝜇𝜙)212𝑚2𝜙2(94)考虑 K-G 场的 Lorentz 对称性:𝑥𝑥𝜇=Λ𝜇𝜈𝑥𝜈𝜙(𝑥)𝜙(𝑥)=𝜙(Λ1𝑥)𝜕𝜇𝜙(𝑥)𝜕𝜇𝜙(Λ1𝑥)=𝜕𝜙(Λ1𝑥)𝜕𝑥𝜇=(Λ1)𝜈𝜇𝜕𝜈𝜙(Λ1𝑥)(𝜕𝜇𝜙)2𝑔𝜇𝜈𝜕𝜇𝜙(𝑥)𝜕𝜈𝜙(𝑥)=𝑔𝜇𝜈(Λ1)𝜌𝜇𝜕𝜌𝜙(Λ1𝑥)(Λ1)𝜎𝜈𝜕𝜎𝜙(Λ1𝑥)=𝑔𝜌𝜎𝜕𝜌𝜙(Λ1𝑥)𝜕𝜎𝜙(Λ1𝑥)=(𝜕𝜇𝜙(Λ1𝑥))2(95)因此系统的作用量不变, 满足判据2.另外我们考虑运动方程(+𝑚2)𝜙(𝑥)=(𝑔𝜇𝜈𝜕𝜇𝜕𝜈+𝑚2)𝜙(Λ1𝑥)=𝑔𝜇𝜈(Λ1)𝜎𝜇𝜕𝜎(Λ1)𝜌𝜈𝜕𝜌𝜙(Λ1𝑥)+𝑚2𝜙(Λ1𝑥)=𝑔𝜎𝜌𝜕𝜎𝜕𝜌𝜙(Λ1𝑥)+𝑚2𝜙(Λ1𝑥)=(+𝑚2)𝜙(Λ1𝑥)(96)即系统的运动方程不变, 满足判据1.对称性可以分为时空对称性内禀对称性:1.时空对称性即 Lorentz + space-time translation, 如平移对称性, 伸缩对称性.2.内禀对称性即内部对称性, 𝑈(1) 对称性, 𝑍2 对称性等. 𝐺 即满足下述条件的集合:1.封闭性:𝑎,𝑏𝐺, 𝑎𝑏𝐺(97)2.恒元 𝟙3.逆元𝑔𝐺, 𝑔1𝐺(98)4.结合律𝑎,𝑏,𝑐𝐺, (𝑎𝑏)𝑐=𝑎(𝑏𝑐)(99)对称性可以分为连续 (continuous) 对称性和分立 (discrete) 对称性. 连续对称性如 𝑈(1) 对称性. 连续对称性可以通过 Lie 来描述. 分立对称性有 𝑍2 对称性和 𝑃𝑇 对称性.D.Noether定理 (对称性 守恒量)Noether theorem: 一个系统具有某种连续对称性, 且当运动方程不显含时间时, 则系统存在一个守恒流:𝜕𝜇𝑗𝜇=0(100)PROOF :作用量𝑆=d4𝑥(𝜙,𝜕𝜇𝜙)(101)取变分:𝛿𝑆=d4𝑥[𝛿(d4𝑥)+d4𝑥𝛿(𝜙,𝜕𝜇𝜙)](102)考虑无穷小变换:𝑥𝑥=𝑥+𝛿𝑥, 𝜙(𝑥)=𝜙(𝑥)+𝛿𝜙(103)其中, 对函数 𝑓, :𝛿𝑓=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥+𝛿𝑥)𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇𝑓(𝑥)+𝒪(𝛿𝑥2)(104) 𝑓(𝑥)𝑓(𝑥)=𝛿0𝑓, 于是 𝛿 可以写成:𝛿=𝛿0+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇(105)我们研究第一项 𝛿(d4𝑥) 是什么: 由于d4𝑥=d4𝑥||||𝜕𝑥𝜇𝜕𝑥𝜈||||=d4𝑥|𝛿𝜇𝜈+𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇|(106)根据det𝑀=etrln𝑀=1+trln𝑀(107)PROOF : 𝐴=ln𝑀, 𝑀=e𝐴𝑛=0𝐴𝑛𝑛!, 𝐶 𝐴 对角化矩阵: 𝐴=𝑆1𝐶𝑆. 于是:det𝑀=det𝑛=0(𝐴)𝑛𝑛!=det𝑛(𝑆1𝐶𝑆)𝑛𝑛!=det𝑛𝑆1𝐶𝑛𝑆𝑛=𝑛det𝑆1det𝐶𝑛det𝑆𝑛!=𝑛det𝐶𝑛𝑛!(108)由于 𝐶𝑛 为对角阵, :det𝐶𝑛=tr𝐶𝑛=(tr𝐶)𝑛=(tr𝐴)𝑛(109)det𝑀=𝑛(tr𝐴)𝑛𝑛!=etr𝐴=etrln𝑀=1+trln𝑀(110)于是 |𝛿𝜇𝜇+𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇| 可以写成:|𝛿𝜇𝜇+𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇|=1+tr[𝜕𝜈𝛿𝑥𝜇]=1+𝜕𝜇𝛿𝑥𝜇(111)因此, 我们得到:𝛿(d4𝑥)=(𝜕𝜇𝑥𝜇)d4𝑥(112)在这里我们考查无穷小 Lorentz 变换:𝑥𝜇=Λ𝜇𝜈𝑥𝜈=𝑥𝜇+𝜔𝜇𝜈𝑥𝜈(113)这里无穷小 Lorentz 变换矩阵 Λ 被一阶展开:Λ𝜇𝜈=𝛿𝜇𝜈+𝜔𝜇𝜈(114)这里 𝛿𝜇𝜈 为单位矩阵, 我们想知道 𝜔𝜇𝜈 是什么. 由于:Λ1𝑔Λ=𝑔𝜇𝜈Λ𝜇𝛼Λ𝜇𝛽=𝑔𝜇𝜈(𝛿𝜇𝛼+𝜔𝜇𝛼)(𝛿𝜈𝛽+𝜔𝜈𝛽)𝑔𝛼𝛽+𝜔𝛼𝛽+𝜔𝛽𝛼=𝑔𝜔𝑎𝑏=𝜔𝑏𝑎(115)此时𝜕𝜇𝛿𝑥𝜇=𝜔𝜇𝜈𝜕𝜇𝑥𝜈=𝜔𝜇𝜈𝑔𝜇𝜈=0(116)也就是说, 对于Lorentz变换, 第一项可以忽略. 回到作用量变分:𝛿𝑆=[(𝜕𝜇𝛿𝑥𝜇)+𝛿]d4𝑥=0(117)我们利用 𝛿=𝛿0+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇 展开第二项:𝛿=𝛿0+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇(118)其中𝛿0=𝜕𝜕𝜙𝛿0𝜙+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜕𝜇𝜙=𝜕𝜕𝜙𝛿0𝜙+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝜕𝜇𝛿0𝜙=(((((𝜕𝜕𝜙𝜕𝜇𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))0𝛿0𝜙+𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙)))))=𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙)))))(119)第三个等号用到了分部积分. 代回:𝛿𝑆=d4𝑥[[[[[[(𝜕𝜇𝛿𝑥𝜇)+𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇𝜕𝜇(𝛿𝑥𝜇)+𝜕𝜇(((((𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙)))))]]]]]]=d4𝑥𝜕𝜇[[[[𝛿𝑥𝜇+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙]]]]=0(120)我们定义 Noether :𝑗𝜇=𝛿𝑥𝜇+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿0𝜙(121)又由于 𝛿0𝜙=𝛿𝜙𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇𝜙 因此:𝛿𝑆=d4𝑥𝜕𝜇[[[[𝛿𝑥𝜇𝛿𝑥𝜈𝜕𝜈𝜙𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙]]]]=d4𝑥𝜕𝜇[[[[(((((𝛿𝜇𝜈𝜕𝜈𝜙𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))𝛿𝑥𝜈+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙]]]]=0(122)得到:𝜕𝜇[[[[(((((𝛿𝜇𝜈𝜕𝜈𝜙𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))𝛿𝑥𝜈+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙]]]]=0(123)可以记𝑗𝜇=(((((𝛿𝜇𝜈𝜕𝜈𝜙𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙))))))𝛿𝑥𝜈+𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝛿𝜙,𝜕𝜇𝑗𝜇=0(124)有时我们也会记 𝑎𝜈=𝛿𝑥𝜈.定义 Noether :0=d4𝑥𝜕𝜇𝑗𝜇=𝑇2𝑇1d𝑡d3𝑥(𝜕0𝑗0+𝛁·𝑗)=𝑇2𝑇1d𝑡(𝜕𝜕𝑡d3𝑥𝑗0(𝑥,𝑡))+d𝑡𝑆𝑗·d𝜎(125)这里对空间积分应用了Stokes定理. 我们记𝑄(𝑡)=d3𝑥𝑗0(𝑥,𝑡))(126):𝑇2𝑇1d𝑡dd𝑡𝑄+d𝑡𝑆𝑗·d𝜎=0(127)对于封闭曲面第二项为 0, 故有:d𝑄d𝑡=0(128) Noether 荷是守恒荷, 不依赖时间.考虑时空平移变换:𝑥𝜇𝑥𝜇=𝑥𝜇+𝑎𝜇,(129)在变换下 𝛿𝜙=0, 因此:𝛿0𝜙=𝛿𝜙𝛿𝑥𝜇𝜕𝜇𝜙=𝑎𝜇𝜕𝜇𝜙(130)我们也可以这样理解:𝜙(𝑥)=𝜙(𝑥𝑎)𝛿0𝜙=𝜙(𝑥)𝜙(𝑥)=𝑎𝜇𝜕𝜇𝜙(131) 𝛿0𝜙 代入 𝑗𝜇 得到:𝑗𝜇=(((((𝛿𝜇𝜈𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝜕𝜈𝜙)))))𝑎𝜈(132)这里我们省略 𝑎𝜈, 并用度规 𝑔 将指标 𝜈 升上去, 得到:𝑇𝜇𝜈=𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝜕𝜈𝜙𝑔𝜇𝜈,𝜕𝜇𝑇𝜇𝜈=0(133)我们称 𝑇𝜇𝜈 能量动量张量. 为了研究 𝑇𝜇𝜈 的物理意义, 我们考察它对应的 Noether :𝑝𝜈=d3𝑥𝑇0𝜈(134)其中 𝜈=0 :𝑝0=d3𝑥𝑇00=d3𝑥((((𝜕𝜕̇𝜙̇𝜙))))=d3𝑥(𝜋̇𝜙)=d3𝑥(135)𝑇00 即为能量密度. 𝜈=𝑖=1,2,3 :𝑝𝑖=d3𝑥𝑇0𝑖=d3𝑥𝜋𝜕𝑖𝜙(136)𝑇0𝑖 动量密度 (不是共轭动量!).EXAMPLE 1=12(𝜕𝜇𝜙)2, shift symmetry: 𝜙𝜙=𝜙+𝑎,𝛿𝜙=𝜙𝜙=𝑎.Noether :𝑗𝜇=𝜕𝜕(𝜕𝜇𝜙)𝑎=𝜕𝜇𝜙,𝜕𝜇𝑗𝜇=𝜙=0(137)EXAMPLE 2CKG=|𝜕𝜇𝜙|2𝑚2|𝜙|2, 𝑈(1) symmetry:𝑈(1):{{{{{𝜙𝜙=ei𝛼𝜙𝜙𝜙=ei𝛼𝜙{{{{{𝛿𝜙=i𝛼𝜙𝛿𝜙=i𝛼𝜙(138)Noether :𝑗𝜇=i[(𝜕𝜇𝜙)𝜙𝜙𝜕𝜇𝜙](139)Noether :𝑄=d3𝑥𝑗0=id3𝑥[̇𝜙𝜙𝜙̇𝜙](140)这里的 𝑄 就是电荷.E.量子化 K-G 场论E.1.正则量子化回顾K-G场的 Lagrangian density:=12(𝜕𝜇𝜙)212𝑚2𝜙2(141)共轭动量密度 𝜋=̇𝜙. Hamiltonian density:(𝜋,𝜙)=𝜋̇𝜙=𝑇00=12𝜋2+12(𝛁𝜙)2+12𝑚2𝜙2(142)回忆 NRQM 中的量子化过程:̂𝐻(̂𝑝,̂𝑞)=̂𝑝22𝑚+𝑉(̂𝑞)[̂𝑝𝑖,̂𝑞𝑗]=i𝛿𝑖𝑗,[̂𝑝𝑖,̂𝑝𝑗]=[̂𝑞𝑖,̂𝑞𝑗]=0(143)我们将这个过程推广到场论中, 应该有:[̂𝜙(𝑥,𝑡),̂𝜋(𝑦,𝑡)]=i𝛿(3)(𝑥𝑦)(144)我们目前找不到显然的方法来实现, 尝试对 𝜙(𝑥,𝑡) Fourier展开:𝜙(𝑥,𝑡)=d3𝑝(2𝜋)3ei𝑝·𝑥̃𝜙(𝑝,𝑡)(145)代入 K-G 方程得到:(+𝑚2)𝜙(𝑥,𝑡)=0((((((((𝜕2𝜕𝑡2+𝑝2+𝑚2𝜔2𝑝))))))))̃𝜙(𝑝,𝑡)=0(146)注意到 𝜔𝑝=𝑝2+𝑚2. 注意到一维简单谐振子Hamiltonian:𝐻SHO=𝑝22+12𝜔2𝑥2(𝑚=1)̂𝑥=12𝜔(𝑎+𝑎),̂𝑝=i𝜔2(𝑎𝑎)[𝑎,𝑎]=1(147)Hamiltonian写成:̂𝐻SHO=𝜔(𝑎𝑎+12)(148)并且有对易关系:[𝐻SHO,𝑎]=𝜔𝑎,[𝐻SHO,𝑎]=𝜔𝑎(149)湮灭算符 𝑎 可以湮灭真空:𝑎|0=0(150)𝑛 态可以写成:|𝑛=(𝑎)𝑛|0(151)回到K-G, Hamiltonian density :(𝜋,𝜙)=12𝜋2+12(𝛁𝜙)2+12𝑚2𝜙2(152)要得到的量子化:[̂𝜙(𝑥),̂𝜋(𝑦)]=i𝛿(3)(𝑥𝑦)[̂𝜙(𝑥),̂𝜙(𝑦)]=[̂𝜋(𝑥),̂𝜋(𝑦)]=0(153)这里我们使用了薛定谔绘景 (Schrödinger picture), 因此𝜙 𝜋 不需要依赖于时间. 在海森堡绘景 (Heisenbergpictuer)下需要 ̂𝜙 ̂𝜋 是同时的, 此时称为等时量子化. 为了得到量子化, ̂𝜙 ̂𝜋 写成:̂𝜙(𝑥)=d3𝑝(2𝜋)312𝜔𝑝(𝑎𝑝ei𝑝·𝑥+𝑎𝑝ei𝑝·𝑥)̂𝜋(𝑥)=d3𝑝(2𝜋)3(i)𝜔𝑝2(𝑎𝑝ei𝑝·𝑥𝑎𝑝ei𝑝·𝑥)(154)̂𝜙(𝑥)=d3𝑝(2𝜋)312𝜔𝑝(𝑎𝑝ei𝑝·𝑥+𝑎𝑝ei𝑝·𝑥)=d3𝑝(2𝜋)312𝜔𝑝(𝑎𝑝+𝑎𝑝)ei𝑝·𝑥̂𝜋(𝑥)=d3𝑝(2𝜋)3(i)𝜔𝑝2(𝑎𝑝ei𝑝·𝑥𝑎𝑝ei𝑝·𝑥)=d3𝑝(2𝜋)3(i)𝜔𝑝2(𝑎𝑝𝑎𝑝)ei𝑝·𝑥(155)对易关系:[𝑎𝑝,𝑎𝑝]=(2𝜋)3𝛿(3)(𝑝𝑝)[𝑎𝑝,𝑎𝑝]=[𝑎𝑝,𝑎𝑝]=0(156)我们可以验证:[𝜙(𝑥),𝜋(𝑥)]=d3𝑝d3𝑝(2𝜋)6(i2)𝜔𝑝𝜔𝑝ei𝑝·𝑥ei𝑝·𝑥[𝑎𝑝+𝑎𝑝,𝑎𝑝𝑎𝑝]=[𝑎𝑝,𝑎𝑝][𝑎𝑝,𝑎𝑝]=2(2𝜋)3𝛿(3)(𝑝+𝑝)=id3𝑝d3𝑝(2𝜋)3𝜔𝑝𝜔𝑝ei𝑝·𝑥ei𝑝·𝑥𝛿(3)(𝑝+𝑝)=id3𝑝(2𝜋)3ei𝑝·(𝑥𝑥)=i𝛿(3)(𝑥𝑥)(157)同样的, 可以验证[𝜙(𝑥),𝜙(𝑥)]=[𝜋(𝑥),𝜋(𝑥)]=0(158)这样的量子化称为正则量子化.于是我们可以给出Hamiltonian:̂𝐻=d3𝑥[12̂𝜋2+12(̂𝜙)2+12𝑚2̂𝜙2]=d3𝑥d3𝑝d3𝑝(2𝜋)6ei(𝑝+𝑝)·𝑥{{{{{𝜔𝑝𝜔𝑝4(𝑎𝑝𝑎𝑝)(𝑎𝑝𝑎𝑝)+𝑝·𝑝+𝑚24𝜔𝑝𝜔𝑝(𝑎𝑝+𝑎𝑝)(𝑎𝑝+𝑎𝑝)}}}}}=d3𝑝d3𝑝(2𝜋)6d3𝑥ei(𝑝+𝑝)·𝑥{{{{{𝜔𝑝𝜔𝑝4(𝑎𝑝𝑎𝑝)(𝑎𝑝𝑎𝑝)+𝑝·𝑝+𝑚24𝜔𝑝𝜔𝑝(𝑎𝑝+𝑎𝑝)(𝑎𝑝+𝑎𝑝)}}}}}=d3𝑝(2𝜋)3{𝜔𝑝4(𝑎𝑝𝑎𝑝)(𝑎𝑝𝑎𝑝)+𝜔𝑝4(𝑎𝑝+𝑎𝑝)(𝑎𝑝+𝑎𝑝)}=d3𝑝(2𝜋)3𝜔𝑝(𝑎𝑝𝑎𝑝+12[𝑎𝑝,𝑎𝑝])=d3𝑝(2𝜋)3𝜔𝑝(𝑎𝑝𝑎𝑝+12(2𝜋)3𝛿(3)(0))(159)从这个式子可以理解, QFT 实际上是无穷多个独立的谐振子的耦合. 可以计算 ̂𝐻 与产生湮灭算符的对易关系:[̂𝐻,𝑎𝑝]=𝜔𝑝𝑎𝑝,[̂𝐻,𝑎𝑝]=𝜔𝑝𝑎𝑝(160)类比谐振子的类似关系: 公式 149. 真空能:̂𝐻|0=d3𝑝(2𝜋)3𝜔𝑝12(2𝜋)3𝛿(0)真空能|0=𝐸val|0̂𝐻𝑎𝑝|0=[̂𝐻,𝑎𝑝]𝜔𝑝𝑎𝑝|0+𝐸val𝑎𝑝|0=(𝐸val+𝜔𝑝)𝑎𝑝|0̂𝐻𝑎𝑝1𝑎𝑝2𝑎𝑝𝑛|0=(𝐸val+𝜔𝑝1+𝜔𝑝2++𝜔𝑝𝑛)𝑎𝑝1𝑎𝑝2𝑎𝑝𝑛|0(161)注意到 零点能是发散的 𝑐-number. 但是我们只关心各个态之间的能量差, 因此可以忽略掉无穷大的常数项.我们也可以得到总动量:̂𝑃=d3𝑥̂𝜋(𝑥)𝛁̂𝜙(𝑥)=d3𝑝(2𝜋)3𝑝𝑎𝑝𝑎𝑝(162)总动量满足对易关系:[̂𝑃,𝑎𝑝]=𝑝𝑎𝑝,[̂𝑃,𝑎𝑝]=𝑝𝑎𝑝(163)正则排序是丢去真空能项使得真空态 |0 湮灭的操作, :̂𝐻=d3𝑝(2𝜋)3𝜔𝑝𝑎𝑝𝑎𝑝, ̂𝐻|0=0(164)于是有{{{{{{{𝑃𝑎𝑝𝑎𝑞|0=(𝑝+𝑞+)𝑎𝑝𝑎𝑞|0𝐻𝑎𝑝𝑎𝑞|0=(𝜔𝑝+𝜔𝑞+)𝑎𝑝𝑎𝑞|0(165)这里 𝜔𝑝=𝑝2+𝑚2 就是系统的能量, 我们将其直接记成 𝐸𝑝, 它总是正的.回忆QM: 全同粒子可以分为费米子 (Fermions) 和玻色子 (Bosons). 费米子遵循F-D统计, 玻色子遵循B-E统计. 其中, 对于玻色子有:𝜙(𝑥1,,𝑥𝑖,𝑥𝑗,,𝑥𝑛)=𝜙(𝑥1,,𝑥𝑗,𝑥𝑖,,𝑥𝑛)(166)对于KG场论, 由于|𝑝𝑎𝑝|0{{{{{{{|𝑝,𝑞𝑎𝑝𝑎𝑞|0|𝑞,𝑝𝑎𝑞𝑎𝑝|0(167)由于 [𝑎𝑝,𝑎𝑞]=[𝑎𝑝,𝑎𝑞]=0 得到:|𝑝,𝑞=|𝑞,𝑝(168)显然, K-G场激发的粒子是玻色子.E.2.单粒子态归一化由前文我们知道:|𝑝𝑎𝑝|0(169)选取归一化的真空态:0|0=1(170)在非相对论性量子力学中:𝑝|𝑞=(2𝜋)3𝛿(3)(𝑝𝑞)(171)我们发现这个归一化不是Lorentz不变的. 考察𝑝 𝑝 𝐸 𝐸 沿 3 方向的 Lorentz boost 变换:𝑝3𝑝3=𝛾(𝑝3+𝛽𝐸)𝐸𝐸=𝛾(𝐸+𝛽𝑝3)(172)考察 𝛿 函数:𝛿(3)(𝑝𝑞)𝛿(3)(𝑝𝑞)(173)由于 𝛿 函数有这样的性质:𝛿(𝑓(𝑥)𝑓(𝑥0))=𝑓(𝑥𝑥0)|𝑥0|(174)应用到 𝛿(𝑝𝑞) , 得到:𝛿(𝑝𝑞)=𝛿(𝑝𝑞)d𝑝3/d𝑝3𝛿(𝑝𝑞)=𝛿(𝑝𝑞)d𝑝3d𝑝3=𝛿(𝑝𝑞)𝛾(1+𝛽d𝐸d𝑝3)(175)由于𝐸=𝑚2+𝑝21+𝑝22+𝑝23d𝐸d𝑝3=𝑝3𝐸(176)因此:𝛿(3)(𝑝𝑞)=𝛿(3)(𝑝𝑞)𝛾(1+𝛽𝑝3𝐸)=𝛿(3)(𝑝𝑞)𝛾(𝐸+𝛽𝑝3)𝐸=𝛿(3)(𝑝𝑞)𝐸𝐸(177):𝐸𝛿(3)(𝑝𝑞)=𝐸𝛿(3)(𝑝𝑞)(178)我们发现𝐸𝛿(3)(𝑝𝑞)(179)Lorentz不变的. 为了与公式 154 保持一致, 我们一般会乘上系数 2, 规定单粒子归一化条件:𝑝|𝑞=2𝐸𝑝(2𝜋)3𝛿(3)(𝑝𝑞)(180)设单粒子态:|𝑝=𝜒𝑝𝑎𝑝|0,|𝑞=𝜒𝑞𝑎𝑞|0(181):𝑝|𝑞=𝜒𝑝𝜒𝑞0|𝑎𝑝𝑎𝑞|0=𝜒𝑝𝜒𝑞0|[𝑎𝑝,𝑎𝑞]+𝑎𝑞𝑎𝑝|0=𝜒𝑝𝜒𝑞0|0[𝑎𝑝,𝑎𝑞]=𝜒𝑝𝜒𝑞(2𝜋)3𝛿(3)(𝑝𝑞)=|𝜒𝑝|2(2𝜋)3𝛿(3)(𝑝𝑞)=2𝐸𝑝(2𝜋)3𝛿(3)(𝑝𝑞)(182)得到单粒子态:𝜒𝑝=2𝐸𝑝,|𝑝=2𝐸𝑝𝑎𝑝|0(183)下面证明积分元 d3𝑝2𝐸𝑝 Lorentz不变的: 考虑积分d4𝑝𝛿(𝑝2𝑚2)𝜃(𝑝0)(184)这个积分是Lorentz不变的: 显然 d4𝑝 𝛿(𝑝2𝑚2) Lorentz不变的, 而能量 𝐸𝑝=𝑝0 Lorentz变换下也不会改变符号, 𝜃(𝑝0) 也是Lorentz不变的. 因此:d4𝑝𝛿(𝑝2𝑚2)𝜃(𝑝0)=d3𝑝d𝐸𝛿(𝐸2𝐸2𝑝)𝜃(𝐸)=d3𝑝d𝐸𝛿(𝐸𝐸𝑝)+𝛿(𝐸+𝐸𝑝)2𝐸𝑝𝜃(𝐸)=d3𝑝2𝐸(185)因此d3𝑝2𝐸(186)Lorentz不变的.最后我们来研究场算符 ̂𝜙(𝑥) 的物理意义. 考虑将 ̂𝜙(𝑥) 作用在真空上:̂𝜙(𝑥)|0=d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝(𝑎𝑝ei𝑝·𝑥+𝑎𝑝ei𝑝·𝑥)|0=d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝ei𝑝·𝑥|𝑝(187)我们注意到这个表达式与非相对论量子力学里的位置算符 |𝑥 表达式:|𝑥=d3𝑝(2𝜋)3ei𝑝·𝑥|𝑝(188)类似. 事实上, ̂𝜙(𝑥) 作用在真空上, 可以认为在 𝑥 处产生一个粒子. 需要注意的是, QFT, 𝑥 永远不可以是算符, 也没有 |𝑥 这样的概念!我们再来考察矩阵元 0|𝜙(𝑥)|𝑝:0|𝜙(𝑥)|𝑝=0|||||d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝(𝑎𝑝ei𝑝·𝑥+𝑎𝑝ei𝑝·𝑥)2𝐸𝑝𝑎𝑝|||||0=ei𝑝·𝑥(189)回忆非相对论量子力学里的位置和动量乘积:𝑥|𝑝=ei𝑥·𝑝(190)某种意义上我们可以把两者相类比 (不是等价!): ̂𝜙(𝑥) 作用在真空上, 可以认为在 𝑥 处产生一个粒子.E.3.Heisenberg 绘景下的K-G场论 Heisenberg picture, 我们约定算符是随时间演化的, 而态不随时间演化.我们需要考虑任意时刻的量子场, 因此我们转到Heisenberg绘景. Heisenberg绘景中算符的演化:𝑂𝐻(𝑥,𝑡)=ei𝐻𝑡𝑂(𝑥,𝑡=0)ei𝐻𝑡(191)对于场算符:̂𝜙(𝑥)=̂𝜙(𝑥,𝑡)=ei𝐻𝑡̂𝜙(𝑥)ei𝐻𝑡(192)Heisenberg运动方程:i𝜕𝜕𝑡𝐴=[𝐴,𝐻](193)代入 ̂𝜙(𝑥):{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{i𝜕𝜕𝑡̂𝜙(𝑥,𝑡)=[̂𝜙,𝐻]=[̂𝜙(𝑥,𝑡),d3𝑥{12𝜋2(𝑥,𝑡)+12(𝛁𝜙(𝑥,𝑡))2+12𝑚2𝜙2(𝑥,𝑡)}]=id3𝑥𝛿3(𝑥𝑥)𝜋(𝑥,𝑡)=î𝜋(𝑥,𝑡)i𝜕𝜕𝑡̂𝜋(𝑥,𝑡)=[̂𝜋(𝑥,𝑡),d3𝑥{12𝜋2(𝑥,𝑡)+12𝜙(𝑥,𝑡)(𝛁2+𝑚2)𝜙(𝑥,𝑡)}](194)显然第一个式子回到了场论的共轭动量的表达式 𝜋=̇𝜙. 继续推导第二个表达式:i𝜕𝜕𝑡̂𝜋(𝑥,𝑡)=i(𝛁2𝑚2)̂𝜙(𝑥,𝑡)𝜕𝜕𝑡̂𝜋(𝑥,𝑡)=(𝛁2𝑚2)̂𝜙(𝑥,𝑡)(195)代入上一式, 整合得到:𝜕2𝜕𝑡2̂𝜙=(𝛁2𝑚2)̂𝜙(+𝑚2)̂𝜙(𝑥,𝑡)=0(196)我们发现 ̂𝜙 依然满足K-G方程.同样的, 我们定义时间依赖的产生湮灭算符:𝑎𝑝(𝑡)=ei𝐻𝑡𝑎𝑝ei𝐻𝑡𝑎𝑝(𝑡)=ei𝐻𝑡𝑎𝑝ei𝐻𝑡(197)则有:̂𝜙(𝑥,𝑡)=ei𝐻𝑡̂𝜙(𝑥)ei𝐻𝑡=d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝(ei𝐻𝑡𝑎𝑝ei𝐻𝑡ei𝑝·𝑥+ei𝐻𝑡𝑎𝑝ei𝐻𝑡ei𝑝·𝑥)=d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝(𝑎𝑝(𝑡)ei𝑝·𝑥+𝑎𝑝(𝑡)ei𝑝·𝑥)(198)我们试图知道产生湮灭算符在 𝑡 时刻与 0 时刻有什么关系, 我们将 𝑎𝑝(𝑡) 对时间求导数:dd𝑡𝑎𝑝(𝑡)=ei𝐻𝑡i𝐻𝑎𝑝ei𝐻𝑡+ei𝐻𝑡𝑎𝑝(i𝐻)ei𝐻𝑡=iei𝐻𝑡[𝐻,𝑎𝑝]ei𝐻𝑡=i𝐸𝑝𝑎𝑝(𝑡)𝑎𝑝(𝑡)=𝑎𝑝ei𝐸𝑝𝑡(199)类似的, :𝑎𝑝(𝑡)=𝑎𝑝ei𝐸𝑝𝑡(200)于是继续将 𝜙(𝑥,𝑡) 写成:̂𝜙(𝑥,𝑡)=d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝(𝑎𝑝ei𝐸𝑝𝑡ei𝑝·𝑥+𝑎𝑝ei𝐸𝑝𝑡ei𝑝·𝑥)=d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝(𝑎𝑝ei𝐸𝑝𝑡+i𝑝·𝑥+𝑎𝑝ei𝐸𝑝𝑡i𝑝·𝑥)(201)引入4-动量 𝑝𝜇=(𝑝0,𝑝)=(𝐸𝑝,𝑝), :̂𝜙(𝑥,𝑡)=d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝((((((((𝑎𝑝ei𝑝·𝑥正频部分+𝑎𝑝ei𝑝·𝑥负频部分))))))))||||||𝑝0=𝐸𝑝=𝑝2+𝑚2̂𝜋(𝑥,𝑡)=̇̂𝜙=𝜕𝜕𝑡̂𝜙(𝑥,𝑡)(202)之所以前项是正频部分, 后项是负频部分, 我们联系Schrödinger方程 i̇𝜓=𝐻𝜓=𝐸𝜓 其中 𝜓 刻画了一个能量本征态: 𝜓ei𝐸𝑡, 𝐸=𝐸𝑝>0, 这对应我们正频的情况. 而负频则对应了能量本征值 𝐸=𝐸𝑝<0 的情况. 𝑎𝑝 作用在真空 |0 : 𝑎𝑝|0 则对应了一个能量为 𝐸𝑝 的粒子态; ̂𝜙(𝑥,𝑡) 作用在真空 |0 ,对应了一个能量为 𝐸𝑝 的粒子态. 同样的, ̂𝜙(𝑥,𝑡) 作用在真空 0| , 也会得到一个能量为 𝐸𝑝 的粒子态——里不会再出现负能! 因此量子场论解决了相对论性量子力学里的负能解问题.EXAMPLE 3对于complex K-G场论, Lagrangian:=|𝜕𝜇𝜙|2𝑚2|𝜙|2(203)此时可以将场算符写成:̂𝜙(𝑥,𝑡)=d3𝑝(2𝜋)312𝐸𝑝(𝑎𝑝ei𝑝·𝑥+𝑏𝑝ei𝑝·𝑥)(204)这里 𝑎𝑝 物理意义是湮灭一个粒子, 𝑏𝑝 是产生一个反粒子.类似地, 可以作空间平移:𝜙(𝑥)=ei𝑝·𝑥𝜙(𝑥=0)ei𝑝·𝑥(205)利用ei𝑝·𝑥𝑎𝑝ei𝑝·𝑥=𝑎𝑝ei𝑝·𝑥ei𝑝·𝑥𝑎𝑝ei𝑝·𝑥=𝑎𝑝ei𝑝·𝑥(206)一般的, 有时空平移:𝜙(𝑥,𝑡)=ei(𝐻𝑡𝑝·𝑥)𝜙(0)ei(𝐻𝑡𝑝·𝑥)=ei𝑝·𝑥𝜙(0)ei𝑝·𝑥,𝑝=(𝐻,𝑝)(207)E.4.因果性; 两点关联函数